Al-Khwârizmî, le savant de Bagdad qui a donné son nom à l’algorithme

Au bas du folio 111 verso, sous la dernière ligne, le copiste a noté quelques mots isolés. C’est une réclame, le début du cahier suivant, inscrit pour guider le relieur. Le cahier suivant n’existe plus. Le manuscrit Ii.6,5 de la bibliothèque universitaire de Cambridge ne garde ainsi que la première moitié d’une arithmétique latine du XIIIᵉ siècle, ouverte par deux mots, Dixit Algorizmi. L’original arabe, composé à Bagdad au IXᵉ siècle par Muhammad ibn Mûsâ al-Khwârizmî, n’a jamais été retrouvé.

Le mot algorithme sort de ce nom latinisé, Algorizmi, et d’un livre que l’on lit seulement en latin.

Un nom de lieu et deux épithètes de trop

Ni l’année de sa naissance ni celle de sa mort ne sont connues. Gerald Toomer, dans sa notice de 1973 pour le Dictionary of Scientific Biography, s’en tient à deux bornes, avant 800 et après 847. Le nom fournit une origine. Al-Khwârizmî, c’est l’homme du Khwârizm, la région de Khiva au sud de la mer d’Aral. Le Fihrist d’Ibn al-Nadîm, catalogue des livres arabes dressé à Bagdad au Xᵉ siècle, précise que sa souche venait de là (éd. Flügel, I, p. 274).

Tabari brouille la piste. Dans un passage de sa chronique universelle (éd. de Goeje, III, 2, p. 1364), il ajoute deux épithètes. Al-Qutrubbullî renvoie à un district proche de Bagdad, entre le Tigre et l’Euphrate. Al-Majûsî, « le mage », désigne un zoroastrien. Toomer en tire une biographie mesurée. La préface pieuse de l’Algèbre montrant un musulman, l’épithète viserait des ancêtres, voire la jeunesse de l’auteur. Roshdi Rashed a répondu avec une ironie rare dans la discipline. Une copie ancienne aurait perdu la lettre wa, « et ». Tabari énumérait donc deux hommes, al-Khwârizmî puis un certain al-Majûsî al-Qutrubbullî, et la conversion supposée repose sur une coquille. L’hypothèse de Rashed a pour elle l’économie, car elle ne demande qu’une lettre perdue, quand celle de Toomer réclame une généalogie qu’aucun autre texte n’atteste.

Le même passage raconte la mort du calife al-Wâthiq, en 847. Appelés à son chevet, plusieurs astronomes, dont al-Khwârizmî, dressent son horoscope et lui promettent cinquante ans de vie. Il meurt dix jours plus tard. Dresser le thème d’un prince faisait partie du métier d’astronome de cour. Si le récit dit vrai, al-Khwârizmî survit à ce calife. Tabari cite sa Chronique perdue pour un événement de 826 (III, 2, p. 1085). Un court traité sur le calendrier juif se date, par un calcul qu’il contient, de 823-824. Quant à l’ambassade chez les Khazars qu’on lui prête en 842, Toomer la soupçonne d’appartenir à un homonyme, Muhammad ibn Mûsâ ibn Shâkir, l’un des trois frères Banû Mûsâ.

Bayt al-Hikma

Toomer décrivait encore en 1973 la Maison de la sagesse comme une sorte d’académie de savants. Dimitri Gutas a démonté ce tableau en 1998, dans Greek Thought, Arabic Culture. L’expression arabe y traduit le nom des bibliothèques palatiales de la Perse sassanide. L’institution devient une bibliothèque de palais, et le grand mouvement de traduction du grec vers l’arabe commence dès le règne d’al-Mansûr (754-775). Rien n’indique, dès lors, qu’al-Khwârizmî ait écrit son Algèbre comme une tâche de bibliothécaire. Il écrit pour un calife, al-Ma’mûn, à qui il dédie ce livre et pour qui il compose son traité d’astronomie.

L’image de l’académie a son pendant, une thèse inverse qui a un lieu et une date. Le 29 mars 1883, à la Sorbonne, Ernest Renan prononce une conférence imprimée la même année sous le titre L’islamisme et la science. Selon lui, la science dite arabe n’avait d’arabe que la langue, et son contenu était grec. Le cas d’al-Khwârizmî s’y prête mal. Ses tables astronomiques reposent pour l’essentiel sur des paramètres indiens, tirés d’un traité sanskrit apporté à Bagdad vers 770. Son Algèbre ne ressemble par sa présentation à aucun texte grec connu. La correction symétrique vaut à peine mieux. Faire de la Maison de la sagesse une université avant l’heure et d’al-Khwârizmî l’inventeur solitaire de l’algèbre revient à retourner le jugement de Renan sans le rendre plus exact.

Une chose, un bien et des dirhams

Le livre porte un titre long, al-Kitâb al-mukhtasar fî hisâb al-jabr wa-l-muqâbala, l’abrégé du calcul par la restauration et la comparaison. Il tient en quatre-vingt-douze pages dans l’édition imprimée que mentionne Ahmed Djebbar. Dans la traduction de Rashed, l’introduction annonce un livre concis pour « ce dont les gens ont nécessairement besoin dans leurs héritages, leurs legs, leurs partages » (éd. Rashed, p. 94). L’auteur y ajoute l’arpentage et la percée des canaux. Aucun symbole n’y figure, pas même pour les nombres. L’inconnue s’appelle shay’, la chose. Son carré se dit mâl, un mot qui signifie bien, fortune, capital et jusqu’à troupeau. La racine est jidhr. Quant à l’unité, elle se compte en dirhams, comme une somme d’argent. Toute question se ramène à l’une de six formes canoniques, par exemple des carrés et des racines égaux à un nombre. Deux opérations y conduisent et donnent leur nom au livre. Al-jabr, la restauration, d’où vient le mot algèbre, fait disparaître une quantité retranchée en l’ajoutant des deux côtés. Al-muqâbala, la comparaison, ôte des deux membres les termes de même espèce. Le problème type énonce qu’un bien et dix racines égalent trente-neuf dirhams. On prend la moitié des racines, cinq, que l’on multiplie par elle-même pour obtenir vingt-cinq. On y ajoute trente-neuf, soit soixante-quatre, dont la racine est huit, et l’on retranche cinq. La racine cherchée vaut trois, le bien neuf. Une figure suit, un carré bordé de quatre rectangles puis complété dans ses angles, qui fonde la règle sur la géométrie.

Les problèmes d’application occupent le reste. Une quarantaine clôt la première partie. La suite, la plus volumineuse, passe à l’arpentage et surtout aux successions selon le droit islamique. Les règles de partage y sont complexes, mais les calculs ne demandent guère que des équations du premier degré.

L’édition du texte arabe a longtemps reposé sur une seule copie. À Oxford, le MS. Huntington 214 de la Bodleian Library est un petit codex de trente-quatre feuillets copié en 1342. L’Algèbre y occupe les feuillets 1v à 34r, sous un intitulé réduit à « livre d’al-Khwârizmî ». Cinq siècles séparent la rédaction et cette copie, qui a suffi à Frederic Rosen pour son édition de 1831. Pour son édition critique de 2007, Rashed a réuni six des huit manuscrits connus, les deux derniers, à Kaboul, lui étant restés inaccessibles. La traduction latine de Gérard de Crémone compte parmi les témoins. Elle suit le texte mot à mot, et elle a été faite sur un manuscrit arabe complet, plus ancien que la copie conservée à Médine.

« Au mieux médiocre »

Toomer conclut sa notice par un jugement sévère, des résultats scientifiques au mieux médiocres, d’une influence pourtant hors du commun. Il voit dans l’Algèbre un manuel de compilation. Côté indien, il relève quatre indices, l’astronomie du même auteur tirée d’un modèle sanskrit, un exposé entièrement rhétorique comme dans les algèbres sanskrites, la règle de trois, courante dans les textes indiens, et deux formules de la circonférence du cercle propres à l’Inde. Côté grec, les figures de l’introduction supposeraient une connaissance du livre II des Éléments d’Euclide. Solomon Gandz soutenait dans les années 1930 qu’al-Khwârizmî ignorait tout d’Euclide, faute de définitions, d’axiomes, de postulats et de démonstrations à la grecque. Le chapitre de mensuration ajoute une difficulté. Il recoupe un traité hébreu, la Mishnat ha-Middot, dont la date, vers 150 selon Gandz, plus tardive selon une étude linguistique de 1968 que cite Toomer, décide de qui a emprunté à qui.

Rashed tient la position opposée, et la tient fort. On ne saurait trop insister, selon lui, sur l’originalité de la conception et du style de cette algèbre. Pour la première fois, une théorie des équations du premier et du second degré, posée par cas exhaustifs et fondée sur la géométrie, devient l’objet d’un livre. Ahmed Djebbar rappelle en 2012 que les procédés de résolution existaient avant l’islam. Il place la nouveauté dans l’assemblage de définitions, d’opérations, de procédés et de justifications jusque-là dispersés, et relève qu’al-Khwârizmî ne s’attribue aucun des éléments nouveaux de son manuel. Un récit consigné au XIIIᵉ siècle par le mathématicien yéménite Ibn al-Jallâb fait remonter l’algèbre à des Persans venus à Médine sous le calife ʿUmar (634-644). Djebbar le tient pour tardif et entaché de légende. Personne ne sait dater les premières pratiques algébriques en terre d’islam. Le livre d’al-Khwârizmî est, selon la tradition bibliographique arabe, le premier à les réunir sous un nom.

De Ségovie à l’augorisme

En 1145, à Ségovie, un traducteur anglais nommé Robert met l’Algèbre en latin. La plupart des historiens l’appellent Robert de Chester. Djebbar écrit Robert de Ketton, et l’identité des deux hommes est elle-même discutée. Gérard de Crémone, mort en 1187, en donne une seconde version. Une troisième, attribuée à Guglielmo de Lunis, est possible. Shay’ devient cossa dans l’algèbre médiévale, et mâl devient census, le patrimoine évalué des Latins.

L’arithmétique suit un autre chemin. Le latin conservé est le remaniement, au XIIᵉ siècle, d’une traduction perdue. C’est lui qui commence par Dixit Algorizmi, « al-Khwârizmî a dit ». Il expose les neuf chiffres indiens, le zéro et la valeur de position, que l’Europe appellera chiffres arabes par abus de langage. Imprimé à Rome en 1857 sous le titre Algoritmi de numero Indorum, d’après le seul manuscrit de Cambridge, il est traduit en anglais en 1990 par John Crossley et Alan Henry. Menso Folkerts l’édite en 1997 avec Paul Kunitzsch, sur la copie complète qu’il avait repérée à la Hispanic Society of America de New York. Au folio 2 verso du volume de Cambridge, une table des matières d’une main de Bury St Edmunds, sans doute du XVᵉ siècle, l’annonce comme Ars algorismi, à côté de sermons anciens et d’un traité sur les questions à poser en confession, sortis depuis du volume.

Bien avant ces éditions, le nom de l’auteur était devenu celui d’un genre. Tout manuel de calcul avec les chiffres indiens s’appelait algorismus, et le français du XIIIᵉ siècle disait augorisme. Le Dictionnaire de l’Académie française fait remonter le mot à l’arabe par l’espagnol. Il explique la forme moderne par une altération d’algorisme sous l’influence du grec arithmos, le nombre. Le h est grec. Le reste vient du Khwârizm.

Les tables astronomiques prennent la route anglaise. Adélard de Bath traduit le zîj d’al-Khwârizmî au début du XIIᵉ siècle, non sur l’original mais sur la révision de l’astronome andalou al-Majrîtî, mort en 1007 ou 1008. Tous les manuscrits connus de cette traduction semblent anglais. La Géographie, elle, ne passe pas. Pour des raisons que Toomer juge obscures, les traducteurs latins ont délaissé les traités purement géographiques. L’Europe ne la découvre qu’à la fin du XIXᵉ siècle.

Quarante-huit feuillets à Strasbourg

Plusieurs livres d’al-Khwârizmî ne sont plus que des titres ou des fragments. La Chronique survit en citations, chez Tabari et chez quelques autres historiens. Du traité sur le cadran solaire, on ne connaît que le nom. L’arithmétique n’existe qu’en latin remanié, les tables qu’en latin révisé, l’Algèbre que dans quelques copies arabes et ses traductions latines. La Géographie tient dans un manuscrit unique.

C’est le Ms.4 247 de la Bibliothèque nationale et universitaire de Strasbourg, ancien « Arabe, Spitta 18 ». Il compte quarante-huit feuillets de 33,5 centimètres sur 20,5, en écriture naskhi, copiés en 1036 (428 de l’hégire). Il a appartenu à Wilhelm Spitta, orientaliste et bibliothécaire au Caire, mort en 1883, et il est entré à Strasbourg l’année suivante. Intitulé Kitâb sûrat al-ard, le livre de la forme de la Terre, le texte aligne des longitudes et des latitudes de villes, de montagnes, de mers, d’îles et de fleuves, classées par climats. Il raccourcit la Méditerranée démesurée de Ptolémée et corrige l’Afrique. Il ferme aussi l’Atlantique par un continent occidental soudé à l’Europe par le nord. Les couleurs qu’il prête aux montagnes ne correspondent à aucun relief réel. Elles ressemblent à celles d’une carte peinte, d’où l’hypothèse, que Toomer reprend, d’un texte relevé sur une mappemonde, peut-être celle qu’al-Ma’mûn fit dresser. Quelques cartes accompagnent la copie, dont une île nommée Yâqût, le « joyau de saphir », probablement Ceylan, et, sur une double page, la vallée du Nil, sources et delta compris.

Pour aller plus loin

Le mouvement de traduction abbasside, du grec et du pahlavi vers l’arabe, éclaire le milieu où travaille al-Khwârizmî. Côté latin, les traducteurs de Tolède et le Liber abaci de Léonard de Pise, qui se réfère aux livres d’algèbre d’al-Khwârizmî et d’Abû Kâmil, prolongent cette histoire, tout comme la question du rôle de Gerbert d’Aurillac dans la diffusion des chiffres indiens.

Au IXᵉ siècle, à Bagdad, un savant nommé Muhammad ibn Mûsâ travaille pour le calife. On l’appelle al-Khwârizmî, l’homme du Khwârizm. C’est le nom d’une région située au sud de la mer d’Aral. Il écrit sur les astres, sur la géographie, sur le calendrier et sur le calcul. On le présente souvent comme l’inventeur de l’algèbre, et c’est de son nom que vient le mot algorithme. Ses livres sont pourtant arrivés en morceaux, et sa vie reste presque inconnue.

Un manuel pour régler les héritages

Son livre le plus connu est un petit manuel dédié au calife al-Ma’mûn. Dès les premières lignes, l’auteur explique à quoi il doit servir. Il veut aider les gens à partager un héritage, à régler un legs, à mesurer un champ ou à creuser un canal. La plus grande partie de l’ouvrage porte d’ailleurs sur les successions selon le droit musulman.

Ce manuel ne contient aucun signe mathématique. Tout y est écrit en phrases, même les nombres. La quantité que l’on cherche porte le nom de « chose ». Son carré prend un mot qui veut dire « bien » ou « fortune », et l’unité se compte en pièces d’argent. Un problème ressemble ainsi à une petite histoire de biens et de pièces d’argent.

Chaque question finit par prendre l’une de six formes types. Pour y arriver, l’auteur décrit un premier geste qui fait disparaître une quantité retranchée en l’ajoutant de chaque côté. Un second geste enlève de chaque côté ce qui se répète. En arabe, le premier geste s’appelle al-jabr, et ce mot a donné algèbre.

Inventeur ou rassembleur

Sur la valeur de ce livre, les spécialistes ne sont pas d’accord. Un historien, Gerald Toomer, le juge faible dans une notice de 1973. Il y voit une compilation de méthodes venues de l’Inde et peut-être de la Grèce. Il admet pourtant que ce modeste manuel a eu une influence hors du commun.

Roshdi Rashed défend l’avis contraire. Selon lui, l’auteur fait quelque chose de neuf. Il range toutes les équations où l’inconnue apparaît seule ou avec son carré en quelques cas fixes. Puis il appuie ses règles sur des figures de géométrie. Pour Rashed, l’algèbre devient là une science à part entière.

Ahmed Djebbar propose une lecture entre les deux. Les méthodes de calcul existaient déjà avant al-Khwârizmî. Sa nouveauté serait d’avoir réuni dans un seul livre ordonné des éléments jusque-là épars. L’auteur, d’ailleurs, ne revendique aucune découverte. Personne ne sait quand on a commencé à faire de l’algèbre dans le monde musulman.

Du nom d’un homme au nom d’une méthode

Au XIIᵉ siècle, des traducteurs mettent ces livres en latin. L’algèbre passe dans cette langue à Ségovie, en Espagne. Cette traduction date de 1145. Un traducteur anglais prénommé Robert en est l’auteur, mais les historiens hésitent encore sur son identité exacte.

Un autre de ses livres explique comment calculer avec les chiffres venus de l’Inde et avec le zéro. Sa traduction latine commence par une courte formule, « Algorizmi a dit ». Le nom de l’auteur, déformé par les copistes, finit par désigner tout manuel qui enseigne ce calcul. On appelle encore ces signes chiffres arabes, alors qu’ils viennent de l’Inde.

Le français du Moyen Âge tire de ce nom le mot algorisme. Plus tard, un mot grec qui veut dire nombre influence l’orthographe, et un h apparaît. Ainsi naît le mot algorithme.

Des livres en morceaux

L’original arabe de ce livre de calcul a disparu. Il n’en reste que des copies latines, une à Cambridge et une autre à New York. Celle de Cambridge s’arrête au milieu du texte, car un cahier entier s’est perdu. Celle de New York est complète.

Sa géographie est une longue liste de villes, de montagnes, d’îles et de fleuves, chacun repéré sur une grille de coordonnées. Elle ne survit qu’en un seul exemplaire, conservé à Strasbourg. L’Europe latine l’a ignorée jusqu’à la fin du XIXᵉ siècle.

Sa vie, elle aussi, reste presque vide. Ses dates exactes de naissance et de mort sont inconnues. Il est né avant l’an 800. Il était sans doute encore en vie au milieu du siècle suivant.

La copie la plus connue de son algèbre se trouve à Oxford. Elle a été faite cinq siècles après lui, et le livre n’y porte même pas son titre. On y lit seulement « livre d’al-Khwârizmî ».

La version complète raconte la mort d’un calife à qui ses astronomes avaient promis une longue vie, et la lettre qui manque peut-être dans une chronique de Bagdad. Elle décrit aussi la vallée du Nil dessinée dans le manuscrit de Strasbourg.