Les chiffres « arabes » sont indiens : histoire du zéro et de sa route

L’objection vient d’elle-même. Par leur forme, les chiffres « arabes » que l’on trace aujourd’hui en Europe ressemblent peu à ceux des inscriptions indiennes, et un écolier du Caire n’écrit pas les siens comme un écolier de Lyon. Les 2, les 3 et les 7 européens descendent des chiffres dits ghubâr, « de poussière », que les calculateurs du Maghreb et d’al-Andalus traçaient à la pointe sur une planche couverte de sable ou de poussière. Dès le XIIᵉ siècle, des mathématiciens de langue arabe notaient que deux séries de chiffres avaient cours dans leur monde, l’une en Orient, l’autre en Occident.

Le folio 16 a été mesuré deux fois

En mai 1881, un ouvrier agricole de Bakhshali, village situé à quatre-vingts kilomètres au nord-est de Peshawar, dans l’actuel Pakistan, met au jour un paquet de feuillets d’écorce de bouleau, dans un champ ou dans une ruine, car les récits de la trouvaille ne s’accordent pas. Le paquet passe par les bureaux du lieutenant-gouverneur du Pendjab, puis entre les mains de l’orientaliste A. F. R. Hoernle, qui l’offre en 1902 à la bibliothèque Bodléienne d’Oxford, où il porte la cote MS. Sansk. d. 14. Soixante-dix folios très abîmés, une écriture shâradâ, un sanskrit teinté de traits dialectaux du Nord-Ouest, des règles et des problèmes de calcul rédigés en vers. Les zéros y abondent, notés par un point. Avant toute analyse de laboratoire, les spécialistes proposaient des dates allant de 200 à 1100 environ, neuf siècles d’écart que seule la paléographie pouvait resserrer. En 2017, la Bodléienne fait dater au radiocarbone trois de ces folios, les numéros 16, 17 et 33. Les mesures donnent trois fourchettes, 224-383, 680-779 et 885-993, et la communication de la bibliothèque met en avant la plus ancienne, qui reculerait de plusieurs siècles la première trace écrite du zéro en Asie du Sud.

La réplique paraît la même année dans la revue History of Science in South Asia. Kim Plofker, Agathe Keller, Takao Hayashi, Clemency Montelle et Dominik Wujastyk y rappellent une règle de philologue : un recueil fait de feuillets d’âges différents n’a pu être copié avant la date de son feuillet le plus récent. La date la plus haute ne dit donc rien de l’acte d’écriture. Les cinq auteurs contestent aussi l’idée, diffusée par Oxford, que les points de Bakhshali ne seraient que des marques de place vide, car le zéro y entre dans plusieurs opérations comme un nombre. Ils regrettent enfin qu’un résultat scientifique ait été lancé par communiqué de presse et par une vidéo, sans relecture par des pairs.

Sur la date, les mesures suivantes leur donnent raison. Un rapport de l’unité de radiocarbone d’Oxford et des Bodleian Libraries, signé par David Chivall, Virginia Lladó-Buisán, David Howell et Gillian Evison, publie cinq déterminations, sur les folios 15, 16, 23, 33 et 55. Un second prélèvement sur le folio 16 a montré que la première mesure était fausse, et celle du folio 17 a été écartée comme aberrante. Les cinq folios retenus se placent tous entre 773 et 1032. Le modèle statistique situe le début de la fabrication entre 799 et 892, sa fin entre 900 et 1102. Ces fourchettes datent la formation de l’écorce, et l’écriture ne peut que leur être postérieure. Le document lui-même ne porte pas de date, mais il s’appuie sur IntCal20, la courbe qui convertit les mesures de radiocarbone en années du calendrier, publiée en 2020, ce qui le place au plus tôt cette année-là.

Le zéro de Bakhshali redescend ainsi vers le Xᵉ siècle.

Parmi les plus anciens zéros sûrs, plusieurs sont gravés dans la pierre et datés par leur propre texte. Dans le fort de Gwalior, en Inde centrale, le petit temple rupestre de Chaturbhuj conserve une inscription sanskrite de vingt-six lignes, datée de 876 (an 933 de l’ère Vikrama), que la base épigraphique Siddham répertorie sous le numéro INIG933. Elle enregistre des dons au temple, dont un terrain de 270 hastas de long sur 187 de large, le hasta valant environ 45 centimètres, et le 270 se termine par un petit cercle. Plus à l’est, la stèle K-127, en vieux khmer, découverte en 1891 près de Sambor, au Cambodge, et publiée en 1931 par Georges Cœdès dans un article intitulé, justement, « À propos de l’origine des chiffres arabes », porte une date dont le chiffre des dizaines est un point. Amir Aczel, qui l’a retrouvée dans un hangar de stockage au terme de quatre ans de recherche, avant son transfert au Musée national du Cambodge, à Phnom Penh, y lisait l’an 605 de l’ère Shaka, soit 683. Une correction intégrée en 2024 à la notice de la Mathematical Association of America lit 604, soit 682-683. L’hésitation porte sur une année, le point ne fait aucun doute. Menso Folkerts relève d’ailleurs des nombres écrits selon le système indien dès le VIIᵉ siècle au Cambodge, à Sumatra et à Java.

« Des calculs qui surpassent toute description »

Pour l’Inde du VIIᵉ siècle comme pour le Cambodge d’avant Angkor, le mot « médiéval » ne désigne rien de propre : le découpage européen n’y sert que de repère de dates. C’est dans ce monde qu’en 628 l’astronome Brahmagupta achève le Brâhmasphutasiddhânta, un traité d’astronomie entièrement en vers. Six strophes de son dix-huitième chapitre, numérotées 30 à 35 dans l’édition de Bénarès de 1902, donnent les règles du calcul sur les quantités positives, négatives et nulles. Le zéro y est défini comme le résultat d’un nombre soustrait à lui-même. Un négatif diminué de zéro reste négatif, un positif reste positif, et zéro moins zéro fait zéro. Zéro divisé par zéro donne zéro, règle que les mathématiques actuelles rejettent. Une quantité divisée par zéro devient, sans autre nom, une fraction qui a zéro pour diviseur.

Une génération plus tard, les signes indiens ont franchi l’Euphrate. Dans une lettre datée de l’an 973 de l’ère séleucide (661-662), Sévère Sebokht, évêque et astronome du monastère de Qenneshre, écrit à Basile, un moine qui vit parmi des Grecs à Chypre, et s’en prend à ceux qui prétendent que les Syriens ne savent rien des astres. Il leur oppose les Babyloniens, puis les Indiens, leurs découvertes en astronomie et des méthodes de calcul qui, selon lui, surpassent toute description, et il précise qu’elles s’effectuent au moyen de neuf signes. Neuf signes, et pas un mot du zéro. La lettre est conservée dans le manuscrit syriaque 346 de la Bibliothèque nationale de France, aux feuillets 168v à 171 ; Edgar Reich l’a éditée avec une traduction allemande en 2000. Son silence ne prouve pas que les Indiens ignoraient le zéro, il montre seulement que, pour un savant syrien de 662, l’essentiel de la méthode tenait en neuf caractères.

Les textes permettent ainsi de séparer deux inventions. La première, la numération de position, donne à chaque signe une valeur qui dépend de sa place, unités, dizaines, centaines et milliers, et fait tenir tous les nombres en neuf caractères. La seconde fait du zéro un nombre qui obéit à des règles, ce que Brahmagupta écrit en toutes lettres. Les deux viennent de l’Inde. Les formes des signes ont changé d’une région et d’un siècle à l’autre, et la plupart des malentendus modernes portent sur elles.

Hisâb al-hind

Le calcul indien, hisâb al-hind en arabe, est connu des lettrés musulmans au moins vers 760, selon Menso Folkerts. En 773, une ambassade venue d’Inde se présente à la cour du calife al-Mansûr, avec dans sa suite un savant versé en astronomie, et un traité d’astronomie indien est traduit en arabe. Sous al-Ma’mûn, qui règne de 813 à 833, les traductions atteignent leur plus grande intensité, surtout depuis le grec.

Vers 825, Muhammad ibn Mûsâ al-Khwârizmî, qui travaille dans le cercle savant de la Maison de la sagesse de Bagdad, rédige le plus ancien traité arabe sur le calcul indien dont on ait une connaissance détaillée. L’original arabe est perdu. On le lit dans un remaniement latin du XIIᵉ siècle qui commence par les mots Dixit Algorizmi, « Al-Khwârizmî a dit », et le nom de l’auteur a donné celui des traités d’algorisme. Longtemps, un seul manuscrit en était connu, celui de la bibliothèque de l’université de Cambridge, coté Ii.6,5, copié au XIIIᵉ siècle et passé par l’abbaye de Bury St Edmunds. Le texte y occupe les feuillets 104r à 111v et s’interrompt au milieu d’un calcul, les derniers feuillets ayant disparu. Un second exemplaire, complet, dormait à New York, à la Hispanic Society of America, sous la cote HC 397/726. Copié en Espagne au XIIIᵉ siècle, il a appartenu jusqu’au XVIIIᵉ siècle à la bibliothèque de l’université d’Alcalá de Henares, et Menso Folkerts l’a édité en 1997. Une édition avec traduction française des versions latines alors connues, due à André Allard, avait paru en 1992.

Le zéro n’y porte pas encore de nom technique. Le traducteur l’appelle circulus, « petit cercle », et explique qu’on le pose dans la première place quand elle est vide, pour que le 1 placé à côté vaille dix. Dans le manuscrit de New York, le cercle est un peu plus petit que les autres chiffres, et les neuf signes ont la forme occidentale, proche de celle que l’on retrouve sur les abaques latins.

Le plus ancien traité de calcul indien conservé en arabe date de 952-953 (341 de l’hégire). Al-Uqlîdisî l’écrit à Damas sous le titre de Kitâb al-fusûl fî al-hisâb al-hindî, « Chapitres sur le calcul indien », et l’ouvrage ne survit que dans une copie de 1186 (582 de l’hégire), le manuscrit 802 de la bibliothèque Yeni Cami d’Istanbul, traduit en anglais par Ahmad Salim Saidan en 1978. Au Xᵉ siècle, les formes des chiffres ne sont déjà plus uniformes dans le monde arabe. Deux usages se fixent, l’un en Orient, Égypte comprise, l’autre en Afrique du Nord et en Espagne, et les Latins recevront le second.

Neuf figures à Albelda

En 976, au monastère d’Albelda, dans le nord de l’Espagne chrétienne, s’achève un grand recueil de conciles, le Codex Vigilanus, aujourd’hui conservé à la bibliothèque royale du monastère de l’Escurial sous la cote d.I.2. Il ne contient aucun traité de mathématiques. C’est pourtant là que l’on trouve, d’après Menso Folkerts, la plus ancienne attestation des chiffres indiens dans un manuscrit latin. Les signes ont la forme occidentale et vont de 1 à 9. Il n’y a pas de zéro.

Gerbert d’Aurillac, le futur pape Silvestre II, a probablement rencontré ces signes lors de son séjour dans la marche d’Espagne, peu avant 970. Il ne s’en sert pas pour écrire des calculs. Au livre III de ses Historiae, chapitre 54, le moine Richer de Saint-Remi décrit la table que Gerbert fait fabriquer, divisée sur sa longueur en vingt-sept parties, où il dispose neuf signes capables de noter n’importe quel nombre. Ces signes marquent des jetons. Sur une table à colonnes, une colonne laissée vide fait office de zéro, ce qui explique peut-être que les abacistes s’en soient passés si longtemps. L’abaque disparaît au XIIᵉ siècle, et avec lui les noms latinisés, dont certains venaient de l’arabe, que l’on donnait à chacun des neuf chiffres.

Avec les traductions du XIIᵉ siècle, le zéro entre enfin dans les textes latins, par le traité d’al-Khwârizmî puis par ses remaniements, que copient des générations de maîtres. En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, formé aux mathématiques à Bougie, sur la côte de l’actuelle Algérie, ouvre son Liber abaci, révisé en 1228, sur les neuf figures des Indiens, écrites 987654321, auxquelles il ajoute le signe 0, que les Arabes appellent zephirum. Au XIIIᵉ siècle, des manuels d’algorisme en vers et en prose entrent au programme des facultés des arts, et les maîtres d’abaque italiens, qui enseignent en langue vulgaire, en dépendent encore.

L’évêque d’Avranches et les lettres grecques

Les auteurs du Moyen Âge ne se sont pas trompés sur l’origine. Al-Khwârizmî expose la méthode des Indiens, et Fibonacci, près de quatre siècles plus tard, parle encore des figures des Indiens. La confusion vient plus tard, et elle a des noms.

Vers 1680, deux érudits de l’Académie de Caen s’affrontent sur la question. Pierre-Daniel Huet, futur évêque d’Avranches, mathématicien et arabisant à ses heures, soutient dans sa Demonstratio evangelica de 1679 que les chiffres sont des lettres grecques déformées par l’usage. Le bêta raccourci à ses deux extrémités aurait donné le 2, le gamma incliné et privé de son pied le 3, le delta redressé le 4, et Huet croit tenir une preuve dans des chiffres arabes repérés au milieu d’un manuscrit grec attribué à Boèce. Son ami Étienne Lemoine, pasteur protestant devenu professeur de théologie à Leyde, réclame au contraire l’invention pour les Arabes, en invoquant la ressemblance entre les chiffres et les caractères de l’écriture arabe. Les deux raisonnent sur la forme des signes, et tous deux se trompent, comme le montre Pierre Ageron, qui a retracé la controverse. Jusqu’à la fin du XIXᵉ siècle, l’hypothèse grecque garde des partisans. Quelques chercheurs du Maghreb défendent encore aujourd’hui l’hypothèse arabe. La querelle, elle, n’a pas entamé l’amitié du catholique et du protestant, restée intacte jusqu’à leur mort.

Les partisans de l’étiquette « arabe » gardent pourtant un argument solide. Les formes que l’Europe écrit sont bien celles du Maghreb et d’al-Andalus, et la série orientale, en usage de l’Égypte au Golfe, est une variante du même système, aussi légitime que l’autre. Le traité d’al-Khwârizmî compile des matériaux d’origine indienne au lieu de traduire un texte indien, et les auteurs de langue arabe du Xᵉ et du XIᵉ siècle, d’après Folkerts, ont forgé des termes techniques et simplifié les procédés. Des deux étiquettes disponibles, « indo-arabes », que propose Ageron, est la plus exacte, parce qu’elle garde à la fois le lieu de l’invention et la route de la transmission.

Le vocabulaire a conservé la trace de cette route. Le sanskrit shûnya, « vide », passe en arabe sous la forme sifr ; le latin du XIIᵉ siècle en tire cifra, d’où chiffre, puis zephirum, que l’italien et le français raccourcissent en zéro à la fin du Moyen Âge.

Per abbacum

On lit souvent que Florence a interdit les chiffres arabes en 1299. Le texte est plus étroit. Les statuts de l’Arte del Cambio, la corporation des changeurs, rédigés entre 1299 et 1316 et publiés en 1955 par G. Camerani Marri, contiennent une rubrique qui défend à tout membre du métier d’écrire dans son livre per abbacum, ce que Marco Conti comprend comme l’emploi des chiffres arabes dans la comptabilité. L’interdit touche les livres des changeurs et des prêteurs de la ville, pas l’enseignement, et Norman Biggs rappelait en 2008 que les enfants florentins apprenaient au même moment l’abaque et l’algorisme. Quant au motif qu’on prête souvent à la mesure, la crainte des falsifications, il ne figure pas dans la rubrique citée.

Les banquiers italiens adoptent les nouveaux chiffres sans hâte. En 1406, ils n’apparaissent encore que de loin en loin dans la comptabilité des Médicis, selon une étude que cite Conti. À Bologne, ce dernier a dépouillé soixante registres fiscaux de la commune, tenus entre 1347 et 1434, et les chiffres romains y dominent. Les notaires qui les tiennent savent pourtant compter en chiffres indo-arabes et les emploient dans leurs cahiers de travail. Dès qu’un registre doit être rédigé en forme publique, avec la valeur juridique que lui donne la tradition notariale, ils reviennent au système romain. Conti y voit, avec prudence, une sorte de bilinguisme administratif, semblable à la coexistence du latin et de la langue vulgaire dans les mêmes bureaux.

Dans deux registres, l’un de 1365, l’autre de 1377, le zéro arrive seul. Celui de la trésorerie de 1365, conservé à l’Archivio di Stato de Bologne, note tous les montants en chiffres romains sur trois colonnes, livres, sous et deniers, douze deniers faisant un sou et vingt sous une livre. Quand un paiement ne comporte pas de sous ou pas de deniers, le notaire ne laisse pas la case blanche, il y trace un 0, aux feuillets 102, 107v, 109 et 110, afin que celui qui additionnera la page ne glisse pas d’une colonne à l’autre, et c’est sous cette forme, une marque de place vide posée entre des chiffres romains, que le signe dont Brahmagupta avait fait un nombre, plus de sept siècles auparavant, figure dans les comptes de la commune.

Pour aller plus loin

Ce sujet croise l’histoire de la Maison de la sagesse de Bagdad, où travaillait al-Khwârizmî, et celle de Gerbert d’Aurillac, dont l’abaque à colonnes a d’abord fait connaître ces signes dans les écoles monastiques. Il rejoint aussi les pratiques des marchands-banquiers italiens, leurs lettres de change et leurs livres de comptes, ainsi que la naissance des facultés des arts, où l’algorisme entre au programme.

Le mot « chiffre » vient d’un mot arabe, sifr, qui veut dire « vide ». On appelle les dix signes que l’on écrit chaque jour des chiffres arabes, car l’Europe les a reçus par des livres rédigés en arabe. Les savants qui écrivaient ces livres parlaient pourtant de calcul indien. Où le zéro est-il né, et quand a-t-on commencé à l’écrire ?

Une idée venue de l’Inde

Un même signe compte pour des unités, des dizaines ou des centaines selon sa place dans le nombre. On l’appelle la numération de position. Grâce à elle, neuf signes suffisent pour écrire n’importe quel nombre. Elle vient de l’Inde.

Le zéro devient un nombre à part entière chez un astronome indien appelé Brahmagupta. En 628, il rédige en vers les règles du calcul avec ce nombre nouveau. Pour lui, zéro est ce qui reste quand on retire un nombre à lui-même. Il se trompe une seule fois. Selon lui, zéro divisé par zéro donne zéro, ce que les mathématiciens refusent aujourd’hui.

Une génération plus tard, un évêque syrien écrit à un moine qui vit à Chypre. Il se plaint de Grecs trop sûrs de leur savoir. Il leur oppose les Indiens, qui calculent avec seulement neuf signes. Il ne dit pas un mot du zéro. Ce silence ne prouve pas que le zéro était inconnu.

Des zéros gravés dans la pierre

Plusieurs des plus vieux zéros bien datés sont gravés sur des pierres. Ces pierres portent leur date dans leur propre texte. En Inde, dans un fort du centre du pays, un petit temple taillé dans le roc garde une inscription de 876. Elle note un don de terrain pour un jardin de fleurs. La longueur du terrain s’y termine par un petit cercle.

Au Cambodge, une stèle en vieux khmer est encore plus ancienne. Dans sa date, la place des dizaines est occupée par un simple point. Elle remonte à 683 environ, à une année près selon les lectures. Un mathématicien l’a retrouvée dans un hangar, au bout de plusieurs années de recherche.

Un manuscrit indien a failli battre ces pierres. Il est fait de feuilles d’écorce de bouleau trouvées près de Peshawar, et il est conservé à Oxford. Ses zéros sont des points. La bibliothèque a un jour annoncé qu’une de ses feuilles précédait de loin la stèle cambodgienne.

Cinq spécialistes ont répondu aussitôt. Un recueil, disent-ils, ne peut pas avoir été copié avant sa feuille la plus récente. De nouvelles mesures leur ont donné raison et ont écarté les dates trop anciennes. Le manuscrit date plutôt des environs du Xᵉ siècle.

Le passage par Bagdad

Les savants de Bagdad apprennent ce calcul venu de l’Inde. Vers 825, al-Khwârizmî lui consacre un livre. Le texte arabe a disparu. On le connaît grâce à une version latine qui commence par les mots « Al-Khwârizmî a dit ». Le zéro y est un petit cercle posé dans une place vide.

Dans le monde arabe, ces signes finissent par prendre deux formes. L’Orient garde les siennes, l’Afrique du Nord et l’Espagne en dessinent d’autres. Ce sont ces formes de l’Ouest qui passent dans l’Europe chrétienne. Les chiffres que l’on écrit en France en descendent.

Le premier manuscrit latin qui les montre a été copié dans le nord de l’Espagne en 976. On y voit déjà les neuf premiers signes, sans le zéro. Le zéro entre dans les livres latins plus tard, avec les traductions de textes arabes. Un mathématicien de Pise, Fibonacci, a étudié les mathématiques en Afrique du Nord. Son grand manuel s’ouvre sur les chiffres des Indiens, auxquels il ajoute le zéro.

Un nom qui raconte un trajet

Au Moyen Âge, les auteurs arabes comme latins disaient ces chiffres indiens. Le nom de chiffres arabes rappelle seulement par où ils sont arrivés. Bien plus tard, deux savants de Caen se disputent leur origine. L’un y voit des lettres grecques déformées, l’autre des lettres arabes. Tous deux se trompent, parce qu’ils ne regardent que la forme des signes.

Le nom d’arabes a pourtant ses défenseurs, et un bon argument. Les formes écrites en Europe sont bien celles du Maghreb et de l’Espagne musulmane. Les savants de langue arabe ont aussi créé des mots techniques et simplifié les méthodes. Parler de chiffres indo-arabes rend justice aux deux histoires.

Les banquiers italiens adoptent ces signes lentement. À Florence, à la fin du XIIIᵉ siècle, les statuts des changeurs leur défendent de s’en servir dans leurs livres de comptes. Le texte ne donne pas la raison. On évoque souvent la peur des fraudes, mais cette explication n’y est écrite nulle part.

La stèle cambodgienne est aujourd’hui exposée au Musée national du Cambodge. Son petit point, posé au milieu d’une date en vieux khmer, se voit à l’œil nu.

La version complète détaille les cinq feuilles mesurées à Oxford et la mesure écartée, puis cite la rubrique latine exacte du statut des changeurs de Florence.