Zénon d’Élée : pourquoi Achille ne rattrapera jamais la tortue

Au livre VI de la Physique, Aristote règle le cas d’Achille en quelques lignes. La distance à parcourir se divise sans fin, le temps de la course aussi, et chaque fragment du chemin dispose donc de son fragment de temps (VI, 2, 233a21-31). À la fin du traité, au livre VIII, il revient pourtant sur sa propre réponse. Elle suffit, écrit-il, contre celui qui posait la question, mais elle ne rend compte ni de la chose elle-même ni de sa vérité (VIII, 8, 263a15-18). Il en donne alors une seconde, fondée sur la différence entre un point qu’on franchit en courant et un point où l’on s’arrête, de sorte que la réfutation d’un argument qu’il tenait pour faux se trouve écrite deux fois, à deux endroits éloignés d’un même livre.

Achille sans tortue

Le texte qui fait connaître l’argument se trouve au chapitre 9 du même livre VI, et il ne contient aucune tortue. Aristote y énumère quatre arguments de Zénon contre le mouvement et présente le deuxième comme « celui qu’on appelle l’Achille » (ho kaloumenos Achilleus). Le plus lent, à la course, ne sera jamais rattrapé par le plus rapide, car celui qui poursuit doit d’abord atteindre le point d’où le fuyard s’est élancé, si bien que le plus lent garde toujours un peu d’avance (239b14-18, traduction de la rédaction d’après le grec et la version anglaise de R. P. Hardie et R. K. Gaye). Le grec dit to bradutaton, au neutre, « ce qui va le plus lentement », sans désigner aucun animal. Du héros, il ne reste que le nom de l’argument. Aristote ajoute que l’Achille reprend le raisonnement de la dichotomie, son premier argument, selon lequel un mobile doit gagner la moitié du parcours avant d’en atteindre le terme (239b11-13). Il en relève deux différences, puisque les distances successives ne sont plus coupées par moitiés (239b18-20) et que l’échec frappe désormais le coureur le plus rapide de la légende. On écrit ici « l’Achille », comme Aristote, plutôt que « Achille et la tortue », parce que le titre ancien ne nomme que le poursuivant.

La tortue entre dans les textes un millénaire après Zénon. Simplicius, néoplatonicien du VIᵉ siècle de notre ère qui commente la Physique et semble avoir eu sous les yeux au moins une partie du livre de Zénon, identifie le plus lent à une tortue (In Physica, 1014, 5, éd. Diels), comme le relève John Palmer dans sa notice de la Stanford Encyclopedia of Philosophy. Un objet bouscule pourtant cette chronologie. Une coupe à figures rouges trouvée à Falerii, en Étrurie, et conservée à Rome au musée de la Villa Giulia (inv. 3591), montre à l’intérieur une figure héroïque qui court, agile, devant une grosse tortue. Elle est datée du milieu du Vᵉ siècle avant notre ère, l’époque où Zénon est actif, et Palmer, qui s’appuie sur la publication qu’en a donnée H. Hoffman dans la revue Antike Kunst en 2004, lui trouve toute l’apparence de la première « réponse » connue à l’Achille. Si cette lecture tient, la tortue appartenait probablement à l’argument dès l’origine et Aristote l’aurait laissée de côté, mais une image ne dit pas ce que son peintre avait entendu raconter.

Aucune phrase de Zénon sur l’Achille n’a été conservée. Diels et Kranz n’ont retenu comme ses propres mots que trois passages sur la pluralité, transmis par Simplicius (29 B 1 à B 3), et une phrase sur le mouvement que cite Diogène Laërce (IX, 72 ; 29 B 4), dont Palmer doute qu’elle remonte à Zénon. L’Achille ne figure dans leur recueil qu’au rang de témoignage (29 A 26), c’est-à-dire de rapport rédigé par un autre, et Maurice Caveing a consacré en 1982 toute une étude historique et critique au tri de ces fragments et de ces témoignages. L’attribution elle-même était discutée dans l’Antiquité. Diogène Laërce rapporte, d’après Favorinus, que Parménide fut le premier à employer l’argument appelé Achille (Vies, IX, 23), puis écrit dans la vie de Zénon que celui-ci en fut l’inventeur, Favorinus l’attribuant à Parménide (IX, 29). Dans la traduction anglaise de R. D. Hicks, parue en 1925 et numérisée par la bibliothèque Perseus, le premier de ces passages porte entre crochets « et la tortue », que le grec ne contient pas.

Pour les Grandes Panathénées

Presque tout ce que l’on sait de la vie de Zénon tient dans les premières pages du Parménide de Platon, rappelle Nick Huggett. Parménide, âgé d’environ soixante-cinq ans, et Zénon, qui en a près de quarante, viennent à Athènes pour les Grandes Panathénées ; Zénon y lit son traité devant un Socrate encore tout jeune, qui lui fait relire la première hypothèse du premier argument, selon laquelle, si les êtres sont multiples, ils doivent être à la fois semblables et dissemblables (127b-e). Socrate étant né en 469, on en tire une naissance de Zénon vers 490 avant notre ère, et Diogène Laërce place son acmé dans la 79ᵉ olympiade, entre 464 et 460 (IX, 29). Palmer tient la scène pour une fiction, ce qui n’interdit pas d’en retenir l’ordre de grandeur des âges.

Selon Diogène Laërce, Zénon meurt en conjuré, la langue coupée de ses dents et crachée au tyran (IX, 26-27).

Dans la suite de l’échange, Zénon corrige Socrate sur le but de son livre (128c-e). Le traité, dit-il, venait au secours de l’argument de Parménide contre ceux qui s’en moquaient en lui opposant les conséquences ridicules de la thèse selon laquelle l’un est, et il rendait la pareille, avec usure, aux partisans du multiple, en montrant que leur hypothèse menait à des conséquences plus ridicules encore. Il l’avait écrit jeune, par goût de la victoire (philonikia), et on le lui avait dérobé avant qu’il ait pu décider de le publier. Gregory Vlastos en a déduit en 1975 un ouvrage assez bref pour se lire d’une traite. Bien plus tard, le néoplatonicien Proclus semble encore connaître un ouvrage transmis sous le nom de Zénon et comptant quarante arguments (In Parmenidem, 694, 17-18, éd. Steel), dont Palmer doute qu’il reproduise fidèlement le traité d’origine. Aristote, dans un dialogue perdu, aurait fait de Zénon l’inventeur de la dialectique (Diogène Laërce, VIII, 57 et IX, 25).

Que visait l’Achille ? La lecture longtemps reçue, tirée de la réplique de Socrate, fait de tous les arguments de Zénon une défense indirecte du monisme de Parménide, qui réduit à l’absurde la croyance au multiple et au mouvement. En 1885, dans la Revue philosophique, Paul Tannery leur donne une cible plus technique, une doctrine pythagoricienne qui composait les choses d’éléments à la fois unités, points et atomes ; d’après Huggett, cette lecture domine pendant la première moitié du XXᵉ siècle, avant que plusieurs commentateurs, dont Gregory Vlastos en 1967, soutiennent que Zénon s’en prend aux notions communes de pluralité et de mouvement, ce qui est aujourd’hui l’opinion la plus répandue. Palmer refuse que le Parménide autorise à faire de Zénon le défenseur d’un monisme strict, puisque Platon fait corriger par Zénon lui-même l’interprétation de Socrate, et il cite Jonathan Barnes, pour qui Zénon s’est moqué des moqueurs de Parménide sans poursuivre aucun but métaphysique sérieux. Mathieu Marion, dans la revue Dialogue en 2014, lit ces paradoxes comme de simples dérivations d’impossibilités (adunata), destinées à ridiculiser les adversaires de Parménide, et leur refuse le statut de réfutations par l’absurde. La seule source ancienne qui énonce le but du livre est une scène que Platon a composée, et c’est ce qui laisse la question ouverte.

Cent mètres d’avance

L’argument ne suppose rien sur les vitesses ni sur l’avance, et c’est ce qui le rend redoutable. Qu’Achille aille dix fois ou mille fois plus vite, il doit d’abord atteindre le point d’où la tortue est partie, et pendant le temps qu’il y met elle a fait un peu de chemin ; il doit alors gagner ce nouveau point, où elle n’est déjà plus, et ainsi de suite. Chacun de ces rattrapages porte sur une distance plus courte que le précédent, jamais nulle pourtant, puisque la tortue ne s’arrête pas, et il n’y en a pas de dernier, puisque chaque arrivée d’Achille ouvre un nouvel écart. Pour conclure, il manque une prémisse, et Aristote la formule lui-même en l’attribuant à Zénon, à savoir qu’il est impossible de parcourir, ou de toucher un à un, des éléments en nombre infini dans un temps fini (VI, 2, 233a21-23). Palmer insiste sur la pauvreté des moyens employés. Aucune notion mathématique particulière n’y intervient, rien d’autre que le fait d’arriver là d’où un autre est parti, et la force de l’Achille tient selon lui à cette simplicité même. Ramené à trois phrases, il se laisse refaire sans grec ni calcul. Pour rejoindre la tortue, Achille doit d’abord atteindre chacun des points qu’elle vient de quitter, et ces points forment une suite sans fin, puisqu’elle a toujours avancé pendant qu’il courait. Chacun de ces trajets demande un peu de temps, et il y en a une infinité. Si une infinité de trajets ne peut pas s’accomplir en un temps fini, Achille ne rejoint jamais la tortue, quelle que soit sa vitesse.

Qu’on donne des chiffres à la course. La tortue part avec cent mètres d’avance, Achille court à dix mètres par seconde et elle à un mètre par seconde. Il lui faut dix secondes pour atteindre son point de départ, pendant lesquelles elle a parcouru dix mètres, puis une seconde pour couvrir ces dix mètres, pendant laquelle elle en a fait un, puis un dixième de seconde, et ainsi de suite. Les distances s’additionnent en 100 + 10 + 1 + 0,1 + …, les durées en 10 + 1 + 0,1 + …, et chacune de ces sommes, qui grossit à chaque terme, reste pourtant sous 111 111… mètres d’un côté et sous 11 111… secondes de l’autre. Achille rejoint la tortue à 111 mètres et un neuvième de son point de départ, au bout de 11 secondes et un neuvième. Le calcul se refait avec d’autres valeurs, puisque le point de rencontre s’obtient en multipliant l’avance par la vitesse d’Achille, puis en divisant par la différence des deux vitesses, ici 100 × 10 / 9.

Aristote avait déjà vu où l’argument s’arrête. L’axiome selon lequel ce qui mène n’est jamais rattrapé est faux, répond-il quelques lignes après son résumé, car le plus lent n’est pas rattrapé tant qu’il mène, et il l’est pourtant si l’on accorde qu’on peut parcourir une distance finie. Nick Huggett reformule la remarque dans la notice qu’il consacre aux paradoxes pour la Stanford Encyclopedia of Philosophy. Toutes les étapes de la suite décrite par Zénon tombent avant la onzième seconde et un neuvième, de sorte que la suite ne contient pas l’instant de la rencontre, qu’il faut lui ajouter. Le calcul dit où et quand Achille rejoint la tortue. Dit-il comment un coureur accomplit une infinité de rattrapages qui n’en comporte aucun dernier ?

Aristote se reprend

La première réponse d’Aristote, au livre VI, repose sur une distinction entre deux manières d’être infini. Une longueur ou une durée peut l’être par ses extrémités, quand elle n’a pas de fin, ou par la division, quand on peut la couper sans terme ; une durée finie est infinie au second sens comme la distance, et il n’y a donc rien d’absurde à toucher une infinité de divisions de la distance au cours d’une infinité de divisions du temps (233a21-31). Pour la course chiffrée, chaque rattrapage dispose de sa fraction de seconde. Huggett note qu’Aristote ne franchit pas l’étape suivante, qui consisterait à soutenir que la somme de ces durées en nombre infini reste finie.

Au livre VIII, il juge cette réponse bonne contre l’interlocuteur et insuffisante pour la vérité, parce qu’il suffit de poser la question au sujet du temps seul, qui contient lui aussi une infinité de divisions, pour qu’elle ne réponde plus à rien (263a15 et suiv.). Sa seconde réponse distingue ce qui est en puissance de ce qui est en acte. Les moitiés d’une ligne continue n’y existent qu’en puissance. Diviser la ligne, ou seulement compter ses moitiés, revient à traiter un point comme deux, fin d’une moitié et début de la suivante, et le mobile qui ferait de chaque point de division un point réel devrait s’y arrêter, si bien que son mouvement cesserait d’être continu pour devenir intermittent. Interrogé sur la possibilité de parcourir une infinité d’unités de temps ou de distance, Aristote répond donc par une distinction de sens. Impossible si elles sont en acte, possible si elles sont en puissance, et celui qui court sans s’arrêter n’a traversé une infinité de moitiés que par accident, parce qu’il appartient par accident à la distance d’être composée d’une infinité de moitiés.

Le compte des moitiés, chez Aristote, a valeur d’épreuve. Un marcheur qui longe une rangée de bornes sans ralentir les dépasse toutes ; s’il fait halte devant chacune pour la compter, il ajoute autant d’arrêts que de bornes, et la difficulté de Zénon devient la sienne.

Huggett juge difficile, d’un point de vue moderne, de tenir cette réponse pour pleinement satisfaisante. La distinction entre infini en puissance et infini en acte n’a jamais été tracée avec netteté, elle ne joue plus aucun rôle en mathématiques depuis que Cantor a mis de l’ordre dans les nombres transfinis, et rien n’explique qu’un arrêt soit la seule action capable de faire d’un point de passage une frontière réelle.

« Un acte simple, indivisible »

Au XIXᵉ siècle, la difficulté prend une forme que les mathématiques savent traiter. Il fallait pour cela, selon Huggett, une théorie des sommes infinies capable de répondre dans tous les cas, car l’intuition seule y égare. La somme 1 − 1 + 1 − 1 + … donne 0 si l’on groupe les termes deux par deux, et 1 si l’on met le premier terme à part. Dans la définition que Cauchy en fixe au XIXᵉ siècle, 1/2 + 1/4 + 1/8 + … vaut exactement 1, et cette somme alternée n’a pas de valeur du tout. Des philosophes comme Adolf Grünbaum, dans Modern Science and Zeno’s Paradoxes en 1967, entreprennent ensuite de montrer que ces ressources suffisent à résoudre tous les paradoxes de Zénon, et cette position reste, d’après Huggett, la conception reçue.

Henri Bergson avait refusé ce terrain dès 1889, au deuxième chapitre de l’Essai sur les données immédiates de la conscience. On prête au mouvement, selon lui, les propriétés de l’espace parcouru, qu’on peut diviser et recomposer à volonté, et l’on se croit dès lors autorisé à reconstituer la course d’Achille avec des pas de tortue, de sorte qu’on met à sa place « deux tortues réglées l’une sur l’autre ». Or « chacun des pas d’Achille est un acte simple, indivisible », et au bout d’un certain nombre de ces actes Achille a dépassé la tortue. Bergson laisse aux mathématiques le soin de déterminer les positions simultanées des deux coureurs, ou leur point de rencontre une fois celle-ci admise, et leur refuse le mouvement lui-même, qu’il range du côté de la durée.

Huggett range Bergson parmi les philosophes qui, au début du XXᵉ siècle, ont tiré des paradoxes la conclusion que l’espace et le temps ne sont pas des continus mathématiques, et il juge cette conclusion injustifiée, les outils de l’analyse standard suffisant à la tâche. Il ajoute aussitôt une condition qui rouvre la question par un autre côté. Une solution purement mathématique ne répond à Zénon que si les mathématiques du continu décrivent l’espace et le temps réels, et rien ne garantit a priori que l’espace ait cette structure ; les théories quantiques de la gravitation, écrit-il, impliquent probablement qu’il ne l’a pas au niveau le plus fondamental.

La lampe de Thomson

En 1951, Max Black soutient dans la revue Analysis qu’on ne peut pas achever la tâche que décrit Zénon, faute d’une dernière étape. Ses successeurs en tirent, selon Huggett, que les paradoxes, inoffensifs pour les mathématiques, montrent qu’elles ne s’appliquent pas à l’espace, au temps et au mouvement. Si une course qu’on achève ne peut pas se décomposer en une infinité de tâches, la description que l’analyse donne de la course d’Achille est fausse, quoi que vaille le calcul.

En 1954, dans la même revue, J. F. Thomson, qui forge à cette occasion le mot de super-task, donne à l’objection une forme qu’on peut se représenter. Une lampe est éteinte. Au bout d’une minute on l’allume, une demi-minute plus tard on l’éteint, un quart de minute plus tard on la rallume, et ainsi de suite ; la série des durées converge vers deux minutes, au terme desquelles l’infinité des basculements est accomplie. Thomson demande dans quel état se trouve alors la lampe. Chaque allumage est suivi d’une extinction, chaque extinction d’un allumage, aucune réponse ne paraît recevable, et Thomson en conclut qu’une telle super-tâche est impossible.

L’objection a reçu deux réponses, qui ne visent pas le même maillon. Thomson lui-même, puis John Earman et John Norton en 1996, relèvent dans l’argument de Black une équivoque sur le mot « achever », qui peut signifier accomplir une dernière action ou accomplir chacune des étapes ; les deux sens coïncident pour une tâche finie et se séparent dans le cas de l’Achille, qui n’a pas de dernier rattrapage et les accomplit pourtant tous. Paul Benacerraf, en 1962 dans le Journal of Philosophy, répond à la lampe que la description de Thomson fixe l’état de la lampe à chaque étape antérieure aux deux minutes et ne dit rien de l’instant final, qu’on peut donc compléter sans contradiction de l’une ou de l’autre façon. Earman et Norton en ont proposé une réalisation, une bille qui rebondit sur une plaque conductrice selon les mêmes durées décroissantes et ferme un circuit à chaque contact, si bien qu’au repos, au bout de deux minutes, la lampe est allumée, ou éteinte si l’on a monté le circuit à l’inverse.

Le cas qu’Aristote abandonnait à Zénon est celui du coureur qui marquerait chaque point de division d’un arrêt, et dont le mouvement cesserait d’être continu. C’est ce coureur-là que la discussion contemporaine a repris. Adolf Grünbaum examine en 1969 une version saccadée de la course, où Achille fait halte à chaque étape pendant des durées de plus en plus brèves, et Huggett décrit en 2010, pour la dichotomie, une course bien définie dont les étapes sont séparées par des repos finis et qui s’achève pourtant en un temps fini, ce qui montrerait qu’on peut accomplir, au moins sur le papier, une infinité de tâches finies dans une durée finie ; la notice de la Stanford Encyclopedia of Philosophy consacrée aux super-tâches, révisée en 2022, en déplace la question vers la physique, où il s’agit de savoir si les lois de la mécanique classique, quantique ou relativiste permettent d’accomplir de telles tâches.

Pour aller plus loin

La flèche, troisième argument de Zénon dans le même chapitre de la Physique (239b30-33), porte la difficulté du mouvement sur l’instant lui-même. La distinction aristotélicienne de l’infini en puissance et de l’infini en acte, et la durée selon Bergson, prolongent chacune l’une des réponses faites à l’Achille.

Une coupe antique peinte est gardée à Rome, dans le musée de la Villa Giulia. Elle a été trouvée en Étrurie, dans la ville ancienne de Falerii. Au fond de la coupe, un personnage héroïque court devant une grosse tortue. L’objet date du milieu du Vᵉ siècle avant notre ère. À la même époque, un penseur grec, Zénon d’Élée, soutient une idée déroutante. Selon lui, le plus rapide des coureurs ne rattrapera jamais le plus lent.

Un écart qui ne se ferme pas

Le raisonnement tient en peu de mots. Achille poursuit un coureur très lent qui part devant lui. Pour le rejoindre, il doit d’abord arriver à l’endroit d’où l’autre est parti. Pendant ce temps, le plus lent a un peu avancé.

Achille doit alors gagner ce nouvel endroit. L’autre a encore bougé, d’une longueur plus petite. Chaque fois qu’Achille touche la place que le lent occupait, un nouvel écart s’ouvre devant lui. Ces écarts rapetissent sans jamais disparaître, et leur liste ne s’arrête jamais.

Zénon en tire une conclusion étrange. Une suite infinie de petites courses ne pourrait pas tenir dans un temps limité. Achille ne rejoindrait donc jamais le lent, quelle que soit sa vitesse. Personne ne croit que ce soit vrai. Toute la difficulté consiste à trouver où le raisonnement se trompe.

Le plus lent n’a pas de carapace

Les mots exacts de Zénon sur cette course sont perdus. On connaît l’argument par le philosophe Aristote, qui le résume dans sa Physique. Chez lui, il est seulement question du plus lent et du plus rapide. Le héros Achille donne son nom à l’argument. Aucune tortue n’y apparaît.

L’animal entre dans les textes bien plus tard, chez un commentateur nommé Simplicius. Celui-ci écrit environ mille ans après Zénon. La coupe de Rome suggère pourtant que la tortue faisait probablement partie de l’histoire du vivant même de Zénon. Un spécialiste voit dans cette image la plus ancienne réaction connue à l’argument.

Rien ne permet de trancher. L’image ne dit pas ce que le peintre avait entendu raconter. L’auteur de l’argument fait lui-même débat depuis l’Antiquité. Une source ancienne l’attribue même à Parménide, dont Zénon défendait les idées.

Aristote revient sur sa copie

Aristote cherche la faille et propose une première réponse. La distance se coupe en morceaux sans fin, mais le temps aussi. Chaque petite course reçoit donc son petit morceau de temps. L’ensemble peut alors tenir dans une durée limitée.

Plus loin dans le même ouvrage, Aristote juge cette réponse trop courte. Il en donne une seconde. Selon lui, les moitiés d’un chemin ne deviennent réelles que si l’on s’arrête à chacune. Le coureur qui file d’un seul élan les traverse sans jamais les découper. Celui qui ferait halte à chaque moitié, lui, ne verrait jamais le bout.

Un petit calcul montre où se fait la rencontre. Donnons cent mètres d’avance à la tortue. Achille, lui, court dix fois plus vite qu’elle. Les petites courses s’ajoutent les unes aux autres. Leur total grandit sans cesse, mais il ne franchit jamais une certaine limite.

Cette limite tombe à un peu plus de cent onze mètres du départ d’Achille. C’est là qu’il rattrape la tortue. Le calcul dit donc où et quand la rencontre a lieu. Il ne dit pas comment on vient à bout d’une suite de tâches qui n’a pas de dernière tâche.

Une lampe qu’on allume sans fin

Cette question revient au siècle dernier. En 1954, le philosophe J. F. Thomson imagine une lampe. On l’allume, on l’éteint, on la rallume, en allant chaque fois plus vite. Au bout de deux minutes, le geste a été répété une infinité de fois.

Thomson demande alors si la lampe est allumée ou éteinte. Chaque allumage a été suivi d’une extinction, et chaque extinction d’un allumage. Aucune réponse ne semble tenir. Thomson en conclut qu’on ne peut pas accomplir une telle suite de gestes.

Paul Benacerraf lui répond quelques années plus tard. L’histoire de la lampe, dit-il, décrit chaque étape avant la fin, mais rien de l’instant final. On peut donc la compléter dans un sens comme dans l’autre, sans contradiction.

D’autres chercheurs ont même proposé un montage. Une bille rebondit de plus en plus bas sur une plaque de métal et ferme un circuit à chaque contact. Selon la façon dont on branche les fils, la lampe finit allumée, ou bien éteinte.

La version complète donne le témoignage de Platon sur le livre de jeunesse que l’on vola à Zénon, et l’objection de Bergson contre « deux tortues réglées l’une sur l’autre ».