La logique d’Aristote et le syllogisme : deux mille ans sans rival ?

Tout homme est un animal, et aucun cheval n’est un homme. On est tenté d’en tirer qu’aucun cheval n’est un animal, ce qui est faux. On peut aussi répondre que tout cheval est un animal, ce qui est vrai, sans remarquer que cette vérité ne doit rien aux deux phrases de départ. Pour s’en assurer, il suffit de garder la forme et de changer un seul mot. Avec « pierre » à la place de « cheval », les deux prémisses restent vraies, et c’est cette fois la négative qui se vérifie, puisque aucune pierre n’est un animal. La même forme a donné, avec deux trios de mots, deux résultats contraires, de sorte qu’aucune conclusion ne peut s’y attacher en vertu de la forme seule.

Quatre formes de phrase, trois figures

Ces deux trios, « animal, homme, cheval » et « animal, homme, pierre », sont ceux d’Aristote, au livre I des Premiers Analytiques, chapitre 4, en 26a2-9 de la pagination Bekker. Il s’en sert pour écarter une combinaison de prémisses stérile, puisqu’un seul cas où les prémisses sont vraies et la conclusion fausse suffit à condamner une forme entière. Robin Smith, qui a traduit le traité en anglais en 1989, souligne combien ce procédé du contre-exemple est proche de la théorie logique moderne. À la fin des Réfutations sophistiques (34, 184b1-3), Aristote affirme n’avoir trouvé sur le raisonnement aucun travail antérieur à citer, et avoir longtemps cherché à tâtons.

Le cadre part d’une définition. « Le syllogisme est un discours dans lequel, certaines choses étant posées, quelque chose d’autre que ces données en résulte nécessairement par le seul fait de ces données » (I, 1, 24b18-20, trad. Jules Tricot). Les choses posées sont des phrases d’un type très contraint, où un prédicat est affirmé ou nié d’un sujet de quatre façons seulement, que la tradition a notées par des voyelles, a pour « tout B est A », e pour « aucun B n’est A », i pour « quelque B est A », o pour « quelque B n’est pas A ». Deux prémisses partagent un terme, le moyen (meson), qui disparaît de la conclusion. Selon qu’il est sujet dans l’une et prédicat dans l’autre, prédicat dans les deux ou sujet dans les deux, on obtient l’une des trois figures (schêmata). Si animal appartient à tout homme et homme à tout Athénien, animal appartient à tout Athénien, et les manuels médiévaux nommeront cette forme Barbara. Aristote la tient pour évidente, comme sa voisine négative plus tard baptisée Celarent, et il les appelle « parfaites » (teleioi). Les autres combinaisons, il les ramène à celles-là, soit en convertissant une prémisse, ce qui permet de passer de « aucun B n’est A » à « aucun A n’est B », soit en supposant le contraire de la conclusion jusqu’à rencontrer une impossibilité. Au terme de l’examen, quatorze combinaisons concluent, réparties sur les trois figures, et le chapitre 7 (29b1-25) montre que toutes se réduisent aux deux universelles de la première. Le geste qui rend ce travail possible passe presque inaperçu dans le texte, car à la place des mots Aristote écrit des lettres, A, B, Γ, et raisonne sur la forme sans les choses.

Une bonne part de ce vocabulaire est postérieure à Aristote. Il ne parle ni de « syllogistique » ni de « modes », Barbara et Celarent sont des procédés mnémotechniques médiévaux, et le titre d’Organon, « instrument », vient de commentateurs plus tardifs qui faisaient de la logique un outil de la philosophie, alors que les stoïciens y voyaient une de ses parties. L’ordre traditionnel des six traités ne suit pas leur composition, et Susanne Bobzien rappelle que la chronologie d’origine ne peut pas être entièrement retrouvée, Aristote ayant inséré des compléments dans des écrits antérieurs ; les Topiques sont probablement plus anciens que les Premiers Analytiques, si l’on prend les progrès logiques pour critère. Le mot sullogismos lui-même engage un choix. Robin Smith le rend par deduction, parce que le grec couvre tout argument dont la conclusion suit nécessairement ; on garde ici « syllogisme », le mot de Tricot, parce que c’est celui que le lecteur français trouvera dans les éditions qu’il peut réellement ouvrir.

Le chien de Chrysippe

Chaque phrase de ce système affirme ou nie un prédicat d’un sujet, et rien d’autre. Robin Smith constate qu’Aristote n’a fait aucun effort pour développer une logique des propositions, celle qui traite des liaisons entre phrases entières, « si », « et », « ou ». Tant qu’on raisonne sur des genres et des espèces, le manque reste invisible. Il saute aux yeux dès qu’on raisonne sur une alternative.

Vers le milieu du IIIᵉ siècle avant notre ère, Chrysippe de Soles, troisième chef de l’école stoïcienne, construit justement cette logique-là. Diogène Laërce lui attribue plus de trois cents livres de logique (VII, 189-199), et Susanne Bobzien décrit son œuvre comme une logique des propositions couronnée par un système déductif, avec cinq arguments « indémontrables » et quatre règles de réduction. Le cinquième indémontrable conclut d’une disjonction et de la négation de l’un de ses membres à l’autre membre. On disait de lui dans l’Antiquité que si les dieux faisaient de la logique, ce serait la sienne (VII, 180).

Sextus Empiricus en a conservé l’illustration la plus fameuse, au premier livre des Esquisses pyrrhoniennes (I, 69). D’après Chrysippe, rapporte-t-il, un chien de chasse arrivé à un carrefour de trois chemins flaire les deux voies que le gibier n’a pas prises, puis s’élance sur la troisième sans la flairer. Le chien raisonnerait ainsi, sans mots. Le gibier est passé par ici, ou par là, ou par le troisième chemin ; il n’est passé ni par ici ni par là ; il est donc passé par le troisième. Qu’on essaie de faire entrer ce raisonnement dans les quatre formes d’Aristote. Aucune ne contient de « ou », et aucune combinaison de « tout », « aucun » et « quelque » ne restitue cette élimination, qui porte sur des phrases entières et non sur des termes. Sextus cite d’ailleurs l’histoire pour soutenir, contre les stoïciens eux-mêmes, que les bêtes ont part à la raison, ce qui fait d’elle une arme de sceptique autant qu’un exemple de logique.

De ces trois cents livres, il ne reste presque rien, deux papyrus très abîmés et des citations ou des résumés chez Diogène Laërce et chez Sextus, qui écrit environ quatre siècles après Chrysippe et le cite surtout pour le combattre. Robin Smith note que la logique stoïcienne a tenu la première place à l’époque hellénistique, et que ce sont les commentateurs d’Aristote, à la fin de l’Antiquité, qui ont rendu sa logique dominante et l’ont transmise aux traditions arabe et latine ; Boèce traduit l’Organon en latin au début du VIᵉ siècle. Entre le IIIᵉ et le VIᵉ siècle de notre ère, selon Bobzien, la logique stoïcienne sort des mémoires, pour ne reparaître qu’au XXᵉ siècle, quand la logique des propositions est redécouverte par d’autres voies. Le colloque réuni à Chantilly en 1976, dont Jacques Brunschwig publie les actes en 1978 sous le titre Les Stoïciens et leur logique, marque cette remise au jour dans la recherche de langue française. Les deux mille ans sans rival tiennent donc en partie à une transmission, qui a conservé un corpus et laissé périr l’autre.

« Aucun pas en avant »

En 1787, dans la préface qu’il rédige pour la seconde édition de la Critique de la raison pure, Kant cherche à quels signes on reconnaît qu’une discipline suit « la voie sûre d’une science », et il prend la logique pour premier exemple. Depuis Aristote, écrit-il, elle n’a été obligée de faire « aucun pas en arrière », et elle n’a pu faire « aucun pas en avant », si bien qu’elle « semble close et achevée » (B VIII, trad. A. Tremesaygues et B. Pacaud, 1905). Les chapitres de psychologie sur les facultés de connaître que certains modernes ont ajoutés à leurs traités, Kant refuse de les compter comme une extension de la logique. Robin Smith relève que Kant se trouvait dix fois plus loin d’Aristote que nous ne le sommes de Kant.

La lecture courante, que Kant a largement suscitée, prend la phrase pour un inventaire clos des inférences valides. Lue ainsi, elle se heurte à la logique de Chrysippe et à tout ce que le XIXᵉ siècle allait ajouter. Jens Lemanski a défendu en 2024, dans la revue Con-Textos Kantianos, une interprétation dite méthodologique de la préface, selon laquelle Kant entend par progrès et par recul autre chose que ce que ses critiques du XXᵉ siècle lui prêtent ; sur cette lecture, Lemanski soutient que l’affirmation de Kant reste juste. Le débat demeure ouvert chez les kantiens, et il dépend d’une question que la préface ne règle pas à elle seule, celle de savoir ce que vaut, pour Kant, un pas dans une science.

Toute tête de cheval est une tête d’animal

L’objection la plus souvent citée tient dans une inférence que personne ne conteste. Tout cheval est un animal, donc toute tête de cheval est une tête d’animal. Aucun syllogisme ne la valide, parce que « être la tête de » relie deux choses entre elles, quand chaque phrase d’Aristote ne dispose que d’un sujet et d’un prédicat. La formule circule sous le nom d’Augustus De Morgan, qui traite des inférences relationnelles dans sa Formal Logic de 1847 et dans ses articles « On the Syllogism », et Alfred Tarski la présentait en 1941 comme un aphorisme célèbre de De Morgan. L’article de Jaakko Hintikka sur l’histoire de la logique, dans l’Encyclopædia Britannica, précise que l’attribution n’est pas rigoureusement exacte, même si elle rend fidèlement l’esprit de ses travaux.

Galien, plus connu comme médecin, avait buté sur la difficulté dès le IIᵉ siècle de notre ère.

Dans son Introduction à la logique (17-18), il range à part des « syllogismes relationnels », comme celui-ci. Dion possède la moitié de ce que possède Théon, Théon la moitié de ce que possède Philon, donc Dion possède le quart de ce que possède Philon. Bobzien relève qu’aucun de ces arguments ne se réduit à la syllogistique d’Aristote, pas davantage qu’à celle des stoïciens. La réponse systématique paraît en 1879, à Halle, avec la Begriffsschrift de Gottlob Frege, qui remplace l’analyse en sujet et prédicat par des fonctions et des variables quantifiées, et qui traite par une même règle « Jean aime Marie » et « quelqu’un aime Marie », là où la logique aristotélicienne appliquait des règles distinctes au sujet et au complément. Une seconde difficulté, plus discrète, tient à la conversion. De « toute chimère est un monstre », Aristote permet de tirer « quelque monstre est une chimère », ce qui revient à poser qu’il existe des chimères, et Robin Smith en conclut que le système suppose, sans le dire, qu’aucun terme n’est vide.

Les défenseurs d’Aristote ne contestent ni la tête de cheval ni les chimères. Ils déplacent la question vers ce que le système accomplit dans son propre domaine. En 1972, John Corcoran publie dans The Journal of Symbolic Logic une démonstration de complétude, et Bobzien résume l’état de la question en notant que la syllogistique, lue comme un calcul sur des classes non vides, est correcte et complète, ce qui signifie que tout ce qu’elle démontre est valide et que toute inférence valide de son fragment s’y démontre. Ian Pratt-Hartmann et Lawrence Moss ont repris en 2009 le problème des relations par l’autre bout, en ajoutant des verbes transitifs aux phrases de la syllogistique. Leurs résultats montrent que ces fragments relationnels admettent des systèmes de règles de type syllogistique dès qu’on y autorise le raisonnement par l’absurde, qui était déjà l’un des deux outils de réduction d’Aristote.

Barbara nécessaire

La nature même d’un syllogisme fait débat. En 1951, Jan Łukasiewicz soutient dans Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic qu’un syllogisme est une seule proposition conditionnelle, du type « si A appartient à tout B et B à tout C, A appartient à tout C », et que le système d’Aristote est une théorie axiomatique ; constatant que les démonstrations par l’absurde d’Aristote ne fonctionnent pas comme des preuves indirectes correctes de telles propositions, il en conclut qu’Aristote ne comprenait pas la preuve indirecte. Au début des années 1970, Timothy Smiley en 1973 et John Corcoran en 1974 répondent, chacun de son côté, qu’un syllogisme est un argument, avec ses prémisses, sa conclusion et la chaîne qui les relie, et que les Premiers Analytiques se lisent comme un système de déduction naturelle. Corcoran retourne contre Łukasiewicz ses propres relevés, en montrant qu’Aristote pratique des déductions indirectes que le modèle axiomatique ne sait pas décrire. Stephen Read propose depuis d’appeler syllogisme la seule paire de prémisses, quand une conclusion en suit, ce qui rend à ses yeux la querelle superflue.

Le terrain le plus disputé se trouve plus loin dans le même livre, aux chapitres 8 à 22, où Aristote ajoute aux prémisses les qualifications « nécessairement » et « possiblement ». Il y admet que si A appartient nécessairement à tout B, et B à tout C sans autre précision, A appartient nécessairement à tout C. La combinaison inverse, où seule la seconde prémisse porte la nécessité, il la refuse. Selon Robin Smith, les interprètes trouvent depuis l’Antiquité ses raisons obscures ou peu convaincantes, et souvent ne le suivent pas. Théophraste, son élève et son successeur à la tête du Lycée, pose une règle plus simple, selon laquelle la conclusion prend toujours la modalité la plus faible des deux prémisses (fr. 106 et 107 Fortenbaugh), et avec elle la « Barbara nécessaire » disparaît.

Depuis Albrecht Becker en 1933, les reconstructions formelles de cette logique modale se sont multipliées, et la plupart sacrifient une partie des résultats d’Aristote pour obtenir un système cohérent. Marko Malink a publié en 2013, aux presses de Harvard, une reconstruction qui reproduit tout ce que dit le texte, au prix d’une complexité que Smith juge élevée. Susanne Bobzien tient pour concevable que la théorie soit incohérente en elle-même, auquel cas tous les modèles proposés pourraient échouer. Pour trancher, il faudrait montrer qu’un modèle de ce genre rend compte de chaque affirmation des chapitres 8 à 22 sans hypothèse étrangère au texte, ou démontrer qu’il existe une contradiction entre deux de ces affirmations, et aucune de ces deux démonstrations ne fait aujourd’hui l’accord des spécialistes.

Pour aller plus loin

Le carré des oppositions, dont Apulée donne au IIᵉ siècle la première présentation complète en diagramme, prolonge directement les quatre formes de phrase étudiées ici. La bataille navale, où Aristote se demande si une phrase sur l’avenir est déjà vraie ou fausse, ouvre sur les futurs contingents, et le Maître argument de Diodore Cronos, que Cléanthe tenta de désarmer, montre ce que les stoïciens faisaient de la même question.

En 1787, Kant écrit que la logique n’a pas bougé depuis Aristote. Selon lui, elle n’a jamais dû reculer et n’a jamais pu progresser. La discipline lui paraît donc terminée. De cette phrase est née une idée simple, souvent répétée depuis. Aristote aurait inventé la logique, et personne ne l’aurait dépassé pendant deux mille ans.

Le test du mot changé

Aristote étudie une façon très précise de raisonner. Deux phrases de départ suffisent à en produire une troisième, qui en découle forcément. Il appelle ce raisonnement un syllogisme. Si tout homme est un animal, et si tout Athénien est un homme, alors tout Athénien est un animal.

Les phrases de départ s’appellent les prémisses. Pour vérifier qu’une forme tient, Aristote garde la forme et change les mots. Tout homme est un animal, or aucun cheval n’est un homme, et pourtant chaque cheval est bien un animal. Avec une pierre à la place du cheval, les prémisses restent vraies, mais aucune pierre n’est un animal. La même forme donne un résultat puis son contraire, et ne garantit donc rien.

Les formes qui résistent à ce test, Aristote les ramène toutes à ses modèles les plus simples, qu’il juge évidents. Il remplace aussi les mots par des lettres, pour raisonner sur la forme seule. Un spécialiste note que cette méthode du contre-exemple ressemble beaucoup à celle des logiciens d’aujourd’hui.

Le flair d’un chien

Ce système a pourtant un angle mort. Chaque phrase y attache une qualité à un sujet, sans plus. Il ne sait pas manier les petits mots qui relient des phrases entières, comme « ou » et « si ».

Au IIIᵉ siècle avant notre ère, le stoïcien Chrysippe bâtit justement une logique de ce genre. On lui prête plus de trois cents livres sur le sujet. Dans l’Antiquité, on disait que les dieux, s’ils raisonnaient, raisonneraient comme lui.

Son exemple le plus connu met en scène un chien de chasse, arrivé à un carrefour où trois routes se séparent. Il flaire une route, puis une autre, sans trouver de trace, et fonce sur la dernière sans même la sentir. Le gibier a pris ce chemin, ou celui-là, ou le dernier ; il n’a pris ni l’un ni l’autre, il a donc pris le dernier. Aucune forme d’Aristote ne permet d’écrire ce « ou ».

Cette logique a presque entièrement disparu. De l’œuvre de Chrysippe, il ne reste que deux papyrus abîmés et des citations. Les commentateurs d’Aristote, eux, ont transmis sa logique aux siècles suivants. L’absence de rival tient donc en partie à ce qui a survécu.

Le cheval et sa tête

Bien plus tard, une objection fait mouche. Tout cheval est un animal. Il s’ensuit que toute tête de cheval est une tête d’animal. Personne n’en doute, et pourtant aucun syllogisme ne permet de le prouver.

La raison est simple. Être la tête d’un cheval relie une chose à une autre, alors que chaque phrase d’Aristote n’a qu’un sujet et une qualité. On attache souvent cette remarque au logicien De Morgan. L’attribution n’est pas tout à fait exacte, même si elle rend bien l’esprit de ses travaux. En 1879, Gottlob Frege invente une écriture où ces liens trouvent enfin leur place.

Les défenseurs d’Aristote ne nient pas le problème. Ils répondent que son système fait correctement son travail dans son propre domaine. Le chercheur John Corcoran l’a démontré, à une condition, que chaque mot désigne des choses qui existent. Tout ce que le système prouve est alors juste, et tout ce qui est juste dans son domaine peut s’y prouver.

La querelle du nécessaire

Plus loin dans le même traité, Aristote ajoute le mot « nécessairement » à ses prémisses. Il accepte certains mélanges et en refuse d’autres. Ses lecteurs trouvent ses raisons obscures depuis l’Antiquité. Son élève Théophraste, qui lui succède, préfère une règle plus simple, où la conclusion n’est jamais plus forte que la plus faible des prémisses.

Les spécialistes d’aujourd’hui ne s’accordent pas davantage. Le chercheur Marko Malink affirme avoir construit un modèle fidèle à chaque affirmation du texte, mais d’une grande complexité. La philosophe Susanne Bobzien juge possible que la théorie d’Aristote se contredise elle-même. Dans ce cas, tous les modèles proposés pourraient échouer.

Aucune des positions n’a encore convaincu l’ensemble des spécialistes du texte.

La version complète donne la phrase de Kant dans sa traduction française d’origine et la défense qu’en propose un spécialiste de Kant. Elle détaille aussi le calcul de Galien sur la fortune de Dion et la querelle ouverte par Łukasiewicz sur la nature même du syllogisme.