Pythagore a-t-il démontré son théorème ? histoire d’une attribution

Cicéron n’y croyait pas

Au troisième livre de La Nature des dieux, achevé vers 45 avant notre ère, Cicéron rapporte que Pythagore, ayant fait une découverte nouvelle en géométrie, aurait sacrifié un bœuf aux Muses. Puis il ajoute qu’il n’en croit rien. Sa raison est de bon sens et tient en une ligne. Le même homme, dit-on, refusait d’immoler une victime à l’Apollon de Délos pour ne pas asperger l’autel de sang. Deux traditions sur Pythagore se contredisent, Cicéron le voit, et il tranche contre celle du bœuf.

Le doute porte sur le sacrifice. Il faudra vingt siècles pour qu’on doute aussi de la découverte, et la question qui s’est alors ouverte n’a rien d’une chicane d’érudits, puisqu’elle touche à l’acte fondateur qu’on prête habituellement aux Grecs, l’invention de la preuve.

Commençons par le contenu. La proposition dit que dans un triangle rectangle, le carré construit sur le côté qui sous-tend l’angle droit est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés. Prenez un triangle dont les côtés de l’angle droit mesurent trois et quatre unités. Le carré du premier vaut neuf unités d’aire, celui du second seize, leur somme vingt-cinq, et vingt-cinq est bien le carré de cinq, qui est la longueur du troisième côté. Cette vérification vaut pour un triangle. Elle ne dit rien des autres.

Vitruve, à la fin du Iᵉʳ siècle avant notre ère, décrit exactement cette opération dans la préface de son neuvième livre : on prend trois règles de trois, quatre et cinq pieds, on les assemble par leurs extrémités, et l’équerre est faite, sans le tâtonnement du charpentier. Il attribue le procédé à Pythagore et mentionne le sacrifice. Vitruve décrit là une technique d’atelier qui fonctionne, et qu’un tailleur de pierre peut employer sans se demander une seconde pourquoi elle fonctionne.

Le distique d’Apollodore et ses cinq relais

L’anecdote circule chez cinq auteurs au moins, et l’on peut remonter leur chaîne. Cicéron l’évoque sans nommer sa source. Diogène Laërce la rapporte dans sa Vie de Pythagore, au livre VIII, paragraphe 12, en citant Apollodore le calculateur, et il parle d’une hécatombe, ce qui suppose un grand nombre de bêtes. Athénée la reprend au dixième livre des Deipnosophistes, en 418f, sous la plume d’Apollodore l’arithméticien. Plutarque la cite deux fois, dans le traité contre les épicuriens et dans les Propos de table. Proclus enfin, au Vᵉ siècle de notre ère, la mentionne dans son commentaire aux Éléments, à la page 426 de l’édition Friedlein.

Tous citent ou paraphrasent les deux mêmes vers, dont voici la teneur. Quand Pythagore trouva la figure fameuse, il conduisit en son honneur un fameux sacrifice de bœufs. Le distique est bâti sur la répétition d’un même adjectif, ce qui indique un morceau de poésie destiné à être retenu, et non un rapport d’histoire.

Cet Apollodore n’est identifié par personne. Certains éditeurs l’ont rapproché d’un Apollodore de Cyzique, disciple de Démocrite, mentionné ailleurs par Diogène Laërce ; si l’identification tenait, le distique remonterait au IVᵉ siècle avant notre ère. Rien ne l’assure. La seule limite ferme est que l’auteur précède Cicéron, qui connaît l’histoire. Entre Pythagore et cette limite, il y a quatre siècles au minimum.

Il faut lire Proclus de très près, parce qu’on lui fait dire beaucoup plus qu’il ne dit. Sa phrase commence par une réserve, à peu près en ces termes. Si l’on écoute ceux qui veulent raconter les choses anciennes, on les trouve rapportant ce théorème à Pythagore et disant qu’il sacrifia un bœuf pour sa découverte. Ceux qui veulent raconter, on les trouve disant. Le néoplatonicien, qui a par ailleurs toutes les raisons de glorifier Pythagore, prend ses distances. Et il enchaîne sur une distinction que la postérité a effacée. Il admire ceux qui les premiers ont aperçu la vérité de ce théorème, mais il admire davantage l’auteur des Éléments, qui l’a établi par une démonstration éclatante et qui, au sixième livre, en a donné la version plus générale. Apercevoir la vérité d’un côté, démontrer de l’autre.

Du triangle 3-4-5 à la proposition I, 47

Le passage de la règle à la démonstration a un prix, et Euclide le paye ligne à ligne. La proposition I, 47 des Éléments, dans la traduction française de Bernard Vitrac, faite sur le texte de Heiberg, procède par une construction qui ne ressemble en rien à une vérification numérique. On élève un carré sur chacun des trois côtés du triangle. On mène par le sommet de l’angle droit une parallèle à un côté du grand carré, ce qui le découpe en deux rectangles. Puis on montre que chacun de ces rectangles a la même aire que le carré construit sur le côté correspondant, en passant par deux triangles dont on prouve l’égalité, chacun valant la moitié de la figure qu’il faut comparer.

Faites la liste de ce que cette marche suppose. La définition de l’angle droit, le postulat selon lequel tous les angles droits sont égaux entre eux, la notion commune qui autorise à ajouter des égaux à des égaux, le premier cas d’égalité des triangles, et la proposition selon laquelle un triangle vaut la moitié du parallélogramme de même base compris entre les mêmes parallèles. Cinq maillons, tous antérieurs dans l’ordre du livre, et aucun évident. Une démonstration exige davantage qu’un contrôle réussi sur un exemple. Elle enchaîne ce qui interdit à l’énoncé d’être faux, pour tout triangle rectangle, y compris ceux dont les côtés ne se mesurent par aucun rapport de nombres entiers.

Au sixième livre, à la proposition 31, Euclide reprend l’énoncé sous une forme plus forte, où les carrés sont remplacés par des figures semblables quelconques construites sur les côtés. Cette version-là passe par la théorie des proportions, qui n’est pas disponible au premier livre, et que la tradition attribue à Eudoxe de Cnide, au IVᵉ siècle avant notre ère, soit plus de cent ans après la mort de Pythagore. Proclus le sait, et c’est pourquoi il distingue les deux démonstrations.

L’esclave du Ménon devant un carré de quatre pieds

Il existe un texte grec du IVᵉ siècle avant notre ère où l’on voit quelqu’un manipuler la relation, et ce n’est pas un traité de géométrie. Dans le Ménon de Platon, entre 82b et 85b, Socrate trace un carré de quatre pieds carrés dans la poussière et demande à un jeune esclave de la maison de construire un carré d’aire double. L’enfant répond d’abord qu’il faut doubler le côté, ce qui donne seize et non huit. Il essaie ensuite un côté de trois, ce qui donne neuf. Socrate le conduit alors à tracer la diagonale du carré initial, et le carré construit sur cette diagonale a bien pour aire huit pieds carrés.

Regardez ce que la scène contient. Un carré de côté deux, un carré de côté deux, et un carré construit sur la diagonale qui vaut exactement la somme des deux. La relation est là, sous sa forme la plus simple, celle du triangle rectangle isocèle. Elle est obtenue par découpage et recomposition, non par la marche d’Euclide. Et Platon, qui met la géométrie au cœur de sa théorie de la réminiscence, ne dit pas un mot de Pythagore.

L’argument que le dialogue prête à l’enfant tient en une phrase. Le carré initial se coupe en deux triangles par sa diagonale ; quatre de ces triangles, assemblés autour d’un centre, forment le carré construit sur la diagonale ; ce carré vaut donc deux fois le premier. C’est une preuve, au sens où un lecteur est contraint d’accepter la conclusion. Elle ne vaut que pour le cas isocèle.

Platon, Aristote, Eudème

Le point décisif est un silence, et il faut mesurer son épaisseur. Platon ne mentionne Pythagore qu’une seule fois dans toute son œuvre, au dixième livre de la République, en 600a, et comme fondateur d’un genre de vie. Aristote consacre aux pythagoriciens un traité perdu en deux livres, dont les fragments conservés nous montrent un Pythagore qui interdit les fèves et possède une cuisse d’or ; dans ses ouvrages conservés, il parle de « ceux qu’on appelle pythagoriciens », qu’il date du milieu du Vᵉ siècle avant notre ère, et il ne place pas Pythagore dans la suite des penseurs qui commence à Thalès.

Le témoin qu’on attendrait le plus s’appelle Eudème de Rhodes. Élève d’Aristote, il écrit au IVᵉ siècle avant notre ère une Histoire de la géométrie, aujourd’hui perdue, dont Proclus a conservé un large résumé dans son prologue. Eudème y nomme Thalès, un obscur Mamercos, puis Anaxagore. Proclus, lui, insère Pythagore entre les deux, avec une phrase sur la transformation de la géométrie en éducation libérale. Walter Burkert a montré en 1962 que cette phrase est reprise mot pour mot d’un traité de Jamblique, et non d’Eudème. Le catalogue des géomètres d’Eudème, notre source la plus autorisée sur les débuts de la géométrie grecque, ne contient pas Pythagore.

Trois phrases suffisent à récapituler. La relation est vraie et connue de longue date ; les sources anciennes fiables ne relient pas Pythagore à sa démonstration ; l’attribution repose sur deux vers d’un poète non daté, relayés pendant six siècles.

Le dossier public s’arrête ici, et deux difficultés restent ouvertes, toutes deux logées dans les textes qu’on vient de lire. Plutarque, en citant le distique dans le traité contre les épicuriens, se demande lui-même de quelle figure il parle, l’égalité du carré de l’hypoténuse ou un problème d’application des aires, et il opte ailleurs pour le second, dans les Propos de table, en 720a. Quant à Diogène Laërce, il raconte le sacrifice du bœuf une première fois à propos de Thalès, au livre I, avant de le raconter à propos de Pythagore au livre VIII. Un témoignage qui flotte sur son objet et sur son héros.

Il faut maintenant reprendre les documents un à un, en commençant par les huit textes cunéiformes qui emploient la règle mille deux cents ans avant Pythagore, l’énoncé sanskrit des Śulbasūtra et la corde tendue le long de la diagonale, la figure chinoise du gougu et sa preuve par découpage, puis ce que la proposition I, 47 doit à Hippocrate de Chios et à personne d’autre.