Leibniz a-t-il volé le calcul infinitésimal à Newton, ou l’inverse ?

Au livre II des Principia mathematica de Newton, un lemme technique sur les « moments », ces accroissements tout juste naissants d’une grandeur, est suivi d’une scolie de quelques lignes. Dans l’édition de 1687, Newton y évoque les lettres échangées une dizaine d’années plus tôt avec un correspondant qu’il qualifie de Geometra peritissimus, « géomètre très habile », et qu’il nomme en toutes lettres, G. G. Leibniz. Il rappelle qu’il lui avait caché le fondement de sa méthode sous des lettres transposées, puis que son correspondant lui avait répondu posséder une méthode du même genre, qui ne différait de la sienne que par le langage et les signes. La deuxième édition, en 1713, reprend le passage presque sans retouche, au point de laisser subsister annis abhinc decem, « il y a dix ans », quand trente-sept années se sont écoulées depuis les lettres dont il parle.

En 1726, la troisième édition, préparée par Henry Pemberton, réécrit la scolie de fond en comble. Selon la notice que Niccolò Guicciardini et Scott Mandelbrote consacrent à l’exemplaire annoté de Newton, conservé à la bibliothèque de l’université de Cambridge, le nouveau texte cesse de rapprocher le calcul de Leibniz du sien et affirme que Newton avait mis sa méthode en système dans un traité « composé sur ce sujet en l’année 1671 », bien avant l’invention de son rival. Les brouillons de cette réécriture, raturés et repris, couvrent les pages 226 et 227 de l’exemplaire. Leibniz était mort depuis près de dix ans.

Entre ces deux états d’un même paragraphe s’est déroulée une querelle qui a occupé la Royal Society, les Acta Eruditorum de Leipzig et jusqu’au roi George Ier, qui lut au début de 1716, selon l’abbé Antonio Conti, une lettre de Newton destinée à Hanovre. Leibniz a-t-il pris à Newton sa méthode, comme le conclut en 1713 un rapport publié sous l’autorité de la Royal Society, ou Newton s’est-il donné après coup une antériorité, comme l’insinue la même année une feuille anonyme imprimée en Allemagne ?

Pour trancher la question de fait, il faut d’abord savoir ce que chacun avait trouvé. La difficulté commence là, parce que les deux hommes ne décrivent pas le même geste mathématique.

L’aire sous la courbe et la pente de la tangente

Depuis les Grecs, deux familles de problèmes occupent les géomètres. On veut mener la tangente à une courbe, ce qui permet aussi de trouver le maximum d’une grandeur, et l’on veut mesurer l’aire enfermée sous une courbe, sa quadrature. Au milieu du XVIIᵉ siècle, les méthodes abondent, celles de Fermat, de Cavalieri, de Wallis, de James Gregory, d’Isaac Barrow, mais chacune vaut pour une classe de courbes. Barrow, qui cède en 1669 sa chaire de Cambridge au jeune Newton, démontre même dans ses Lectiones geometricae de 1670, à la proposition 11 de la leçon X, un théorème qui relie sous forme géométrique la tangente d’une courbe à l’aire d’une autre.

Un exemple rend le lien sensible. Tracez la courbe qui donne, heure après heure, la distance parcourue par une diligence depuis son départ. La pente de sa tangente en un point mesure la vitesse de la voiture à cet instant. Sous la courbe des vitesses, l’aire comprise entre le départ et midi donne la distance parcourue à midi. Tirer la vitesse de la distance et tirer la distance de la vitesse sont deux opérations qui se défont l’une l’autre, comme l’addition défait la soustraction.

Le calcul que Newton et Leibniz se disputeront consiste à faire de cette réciprocité une règle, et à la munir d’une procédure mécanique valable pour toute courbe donnée par une équation, y compris quand l’équation contient des racines. Newton écrit à Collins, le 10 décembre 1672, que sa méthode ne s’arrête pas devant les quantités irrationnelles, et Leibniz intitule son article de 1684 Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, « nouvelle méthode pour les maxima et les minima, ainsi que pour les tangentes, que n’arrêtent ni les quantités fractionnaires ni les irrationnelles » (traduction de la rédaction, comme toutes celles qui ne portent pas d’autre nom).

Newton fait couler les quantités

En juillet 1669, Isaac Barrow envoie au mathématicien londonien John Collins un court traité manuscrit de son jeune collègue, le De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, « De l’analyse par des équations au nombre infini de termes ». Newton ne le publie pas. Collins en tire une copie, et le texte ne paraît qu’en 1711, imprimé à Londres par William Jones.

Son objet principal est le développement des grandeurs en séries infinies, mais il contient, vers la fin, la démonstration d’une règle de quadrature qui montre la méthode à l’œuvre. Soit une courbe dont l’aire, comptée depuis l’origine jusqu’à l’abscisse x, vaut z, et supposons que z soit égal aux deux tiers de x à la puissance trois demis. Newton élève au carré pour se débarrasser de la racine, ce qui donne quatre neuvièmes de x au cube égaux à z au carré. Il fait ensuite avancer l’abscisse d’une quantité très petite, qu’il note o, pendant que l’aire augmente de o multiplié par v, où v désigne l’ordonnée de la courbe à cet endroit. Il remplace x par x + o et z par z + ov, développe les deux membres et retranche les termes qui s’égalent déjà par hypothèse. Tout ce qui subsiste est alors divisé par o, après quoi Newton suppose que o ne vaut plus rien, de sorte que les termes qui contenaient encore o disparaissent et qu’il reste une seule égalité, selon laquelle l’ordonnée vaut la racine carrée de x. Lue à l’envers, la même ligne de calcul donne l’aire quand on connaît l’ordonnée, et Newton voit dans cette réversibilité une méthode capable de s’étendre à toutes les courbes, qu’elles soient géométriques ou mécaniques, par équations finies ou par séries.

Le vocabulaire qui accompagne ce calcul dit comment Newton se représente les grandeurs. Il les pense comme engendrées par un mouvement continu, telle une aire balayée par une ordonnée qui avance. Il les appelle fluentes, les quantités qui s’écoulent ; leur vitesse d’accroissement est la fluxio, la fluxion ; la petite portion engendrée pendant un instant o s’appelle le momentum, le moment. Une fluxion est une vitesse, donc une grandeur finie, et seul le moment s’évanouit.

Newton date ces idées des années 1665 et 1666, pendant l’épidémie de peste, et il invoque dans ses remarques sur une lettre de Leibniz à l’abbé Conti un papier daté du 13 novembre 1665. Le point faible de sa position est le silence de l’imprimé, puisque Newton ne publie aucun exposé de sa méthode avant le Tractatus de quadratura curvarum, joint à l'Opticks en 1704, si l’on excepte le lemme des Principia et les extraits de ses lettres que John Wallis imprime en 1693.

Omnes lineae

Leibniz arrive à Paris en 1672 pour une mission diplomatique et y reste quatre ans. Juriste et philosophe, il apprend la géométrie savante auprès de Christiaan Huygens. Son chemin vers le calcul part des suites de nombres. Il remarque que, dans une suite, la somme des différences entre termes successifs redonne la différence entre le dernier terme et le premier, de sorte que sommer et différencier sont deux opérations inverses. Transposée à une courbe approchée par un polygone aux côtés de plus en plus petits, la somme correspond à l’aire, la différence à la tangente. Leibniz racontera plus tard qu’une figure trouvée chez Pascal, le petit triangle qu’il nomme caractéristique, lui avait ouvert les yeux.

Le 29 octobre 1675, dans un manuscrit parisien intitulé Analyseos tetragonisticae pars secunda, « seconde partie de l’analyse quadratrice », Leibniz travaille encore avec l’abréviation omn. héritée de Cavalieri, pour omnes lineae, « toutes les lignes », la somme de toutes les ordonnées d’une figure. Il décide d’écrire à la place un S allongé, initiale de summa, la somme, et la lettre d, pour la différence, suit de près. Avec ces deux signes, l’inversion se lit sur la page même, puisque d appliqué à ∫ rend la grandeur dont on était parti. La règle apparaît en clair dans une lettre destinée à Newton, en juin 1677. Leibniz y appelle dy la différence de deux ordonnées infiniment proches, dx celle de deux abscisses, et en tire que la différence de y au carré vaut 2y dy. Pour mener une tangente, il remplace dans l’équation de la courbe x par x + dx et y par y + dy, rejette les termes qui s’annulent en vertu de l’équation de départ avec ceux où deux quantités infiniment petites se multiplient, et garde les seuls termes intermédiaires, qui donnent la tangente. Neuf ans plus tard, dans les Acta Eruditorum de juin 1686, il défend ses signes contre l’usage de simples lettres, parce que dx est une modification de x lui-même et permet d’écrire par équation des courbes que l’algèbre ordinaire ne sait pas décrire.

Les deux méthodes donnent les mêmes résultats sur les mêmes courbes, et les deux hommes le savent dès 1677. Elles ne reposent pas sur la même image. Newton voit des grandeurs qui coulent dans le temps et des vitesses finies ; le petit o n’intervient que pour être supprimé au terme du calcul. Leibniz voit des sommes et des différences, sans temps ni mouvement, et ses dx sont des êtres infiniment petits que le calcul manipule comme des nombres jusqu’au moment où il devient permis de les négliger. Dans les brouillons de son compte rendu anonyme de 1715, Newton oppose sa manière, conforme selon lui à la nature des choses, à celle des indivisibles, qu’il juge forcée et étrangère à la géométrie, et il reproche à Leibniz de n’avoir aucun signe pour les fluxions, qui sont des grandeurs finies. Leibniz répond dès 1712 que les deux manières ne diffèrent que dans l’expression. Une question commande tout ce qui suit, et Newton la formule lui-même dans une note contre Leibniz, où il trouve « ridicule » de placer l’invention d’une méthode dans l’invention de mots et de symboles. Si la méthode existe indépendamment de ses signes, Newton est le premier. Si les signes font la méthode, l’inventeur est celui qui a écrit ∫ et d.

Élée, et la flèche immobile

Une difficulté très ancienne aide à voir l’écart. Aristote rapporte au livre VI de la Physique, au chapitre 9, en 239b selon la pagination de Bekker, l’argument de Zénon d’Élée sur la flèche en vol. À chaque instant, la flèche occupe un espace égal à elle-même ; ce qui occupe un espace égal à soi est au repos ; la flèche est donc au repos à chaque instant de son vol. L’argument vise exactement le point que le calcul devra traiter, la vitesse à un instant où, par définition, aucun déplacement n’a encore eu lieu.

Newton répond en physicien. La flèche a, à chaque instant, une vitesse finie, sa fluxion, donnée première du mouvement, et l’on calcule la dernière raison des accroissements au moment où ils s’évanouissent. Leibniz répond en inventeur d’algorithme. La vitesse est le rapport dy/dx de deux différences infiniment petites, que les règles du calcul traitent comme des quantités aussi longtemps qu’on en a besoin. Pour la diligence de l’exemple précédent, les deux réponses donnent le même chiffre à midi, et elles divergent sur la nature de ce qui se passe à midi.

Chez Collins, en octobre 1676

Les dates semblent régler l’affaire en faveur de l’indépendance. Leibniz écrit ∫ en octobre 1675 ; la première lettre de Newton qui lui est destinée, l'Epistola prior, part de Londres le 26 juin 1676, et elle traite des séries. Le Commercium epistolicum de 1713 soutient pourtant autre chose qu’une copie des signes. Il soutient que Leibniz avait reçu de Londres assez d’indications pour trouver le reste, et Newton écrit dans un brouillon que la question n’est pas de savoir si Leibniz aurait pu trouver seul, mais s’il n’avait pas reçu de Newton assez de lumière.

Une visite, surtout, nourrit le soupçon. En octobre 1676, quittant Paris pour Hanovre, Leibniz passe par Londres, et John Collins lui laisse consulter le De analysi. Il en prend une copie partielle, dont le texte latin figure au tome II des Mathematical Papers of Isaac Newton édités par D. T. Whiteside en 1968, aux pages 248 à 259. Trois ans plus tôt, lors d’un premier séjour à Londres en 1673, il avait acheté les Lectiones geometricae de Barrow.

L’intervalle est étroit. Entre le manuscrit du 29 octobre 1675 et la lettre de juin 1677, Leibniz reçoit les deux lettres de Newton, voit le traité de 1669 et annote le livre de Barrow à une date qu’on ne sait pas fixer. La reconstitution de ses années parisiennes par Joseph E. Hofmann, Leibniz in Paris 1672-1676, publiée en anglais en 1974, conclut à l’indépendance de son algorithme, et l’édition de Whiteside permet de lire ce que Leibniz a copié chez Collins et ce qu’il a laissé de côté. Le soupçon ne porte donc plus sur une date isolée. Il porte sur ce qu’un homme d’une rapidité exceptionnelle pouvait tirer de quelques pages lues au bon moment.

Il faut maintenant reprendre les documents dans l’ordre où ils ont circulé, les deux lettres de 1676 et l’anagramme qui cache la méthode de Newton, la réponse de Leibniz en 1677, la scolie de 1687 et l’usage que Newton disait vouloir en faire, puis l’enchaînement qui conduit, entre 1699 et 1715, d’un opuscule de Fatio de Duillier au comité de la Royal Society.

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